Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6743 / 2639
↖ ↑ ↗
← N 53.774689°
E116.323242°		 ← 2 887.73 m → N 53.774689°
E116.367187°		 →
↑
2 888.61 m
↓
↑
2 888.61 m
↓
N 53.748711°
E116.323242°		 ← 2 889.52 m →
8 344 118 m²		 N 53.748711°
E116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82318115234375 y=0.32220458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82318115234375 × 213)
    floor (0.82318115234375 × 8192)
    floor (6743.5)     		tx = 6743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32220458984375 × 213)
    floor (0.32220458984375 × 8192)
    floor (2639.5)     		ty = 2639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6743 / 2639 ti = "13/6743/2639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6743/2639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6743 ÷ 213
    6743 ÷ 8192     		x = 0.8231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2639 ÷ 213
    2639 ÷ 8192     		y = 0.3221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8231201171875 × 2 - 1) × π
    0.646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03022357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3221435546875 × 2 - 1) × π
    0.355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.11750500394275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03022357} λ = 2.03022357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11750500394275))-π/2
    2×atan(3.05721693557799)-π/2
    2×1.25467085068566-π/2
    2.50934170137132-1.57079632675     		φ = 0.93854537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03022357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93854537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.774689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6743 KachelY 2639 2.03022357 0.93854537 116.323242 53.774689
    Oben rechts KachelX + 1 6744 KachelY 2639 2.03099056 0.93854537 116.367187 53.774689
    Unten links KachelX 6743 KachelY + 1 2640 2.03022357 0.93809197 116.323242 53.748711
    Unten rechts KachelX + 1 6744 KachelY + 1 2640 2.03099056 0.93809197 116.367187 53.748711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93854537-0.93809197) × R
    0.000453400000000048 × 6371000     		dl = 2888.61140000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93854537-0.93809197) × R
    0.000453400000000048 × 6371000     		dr = 2888.61140000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03022357-2.03099056) × cos(0.93854537) × R
    0.000766989999999801 × 0.590962098876009 × 6371000     		do = 2887.73233080118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03022357-2.03099056) × cos(0.93809197) × R
    0.000766989999999801 × 0.591327795594016 × 6371000     		du = 2889.5193053599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93854537)-sin(0.93809197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590962098876009-0.591327795594016)×R²
    abs(2.03099056-2.03022357)×0.000365696718007125×R²
    0.000766989999999801×0.000365696718007125×6371000²
    0.000766989999999801×0.000365696718007125×40589641000000     		ar = 8344117.61138379m²