Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6743 / 2627
↖ ↑ ↗
← N 54.085173°
E116.323242°		 ← 2 866.33 m → N 54.085173°
E116.367187°		 →
↑
2 867.20 m
↓
↑
2 867.20 m
↓
N 54.059388°
E116.323242°		 ← 2 868.11 m →
8 220 905 m²		 N 54.059388°
E116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82318115234375 y=0.32073974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82318115234375 × 213)
    floor (0.82318115234375 × 8192)
    floor (6743.5)     		tx = 6743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32073974609375 × 213)
    floor (0.32073974609375 × 8192)
    floor (2627.5)     		ty = 2627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6743 / 2627 ti = "13/6743/2627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6743/2627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6743 ÷ 213
    6743 ÷ 8192     		x = 0.8231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2627 ÷ 213
    2627 ÷ 8192     		y = 0.3206787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8231201171875 × 2 - 1) × π
    0.646240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03022357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3206787109375 × 2 - 1) × π
    0.358642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1267088886698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03022357} λ = 2.03022357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1267088886698))-π/2
    2×atan(3.0854850967341)-π/2
    2×1.2573803397413-π/2
    2.51476067948261-1.57079632675     		φ = 0.94396435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03022357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94396435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.085173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6743 KachelY 2627 2.03022357 0.94396435 116.323242 54.085173
    Oben rechts KachelX + 1 6744 KachelY 2627 2.03099056 0.94396435 116.367187 54.085173
    Unten links KachelX 6743 KachelY + 1 2628 2.03022357 0.94351431 116.323242 54.059388
    Unten rechts KachelX + 1 6744 KachelY + 1 2628 2.03099056 0.94351431 116.367187 54.059388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94396435-0.94351431) × R
    0.00045004000000004 × 6371000     		dl = 2867.20484000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94396435-0.94351431) × R
    0.00045004000000004 × 6371000     		dr = 2867.20484000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03022357-2.03099056) × cos(0.94396435) × R
    0.000766989999999801 × 0.586581955892289 × 6371000     		do = 2866.328791502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03022357-2.03099056) × cos(0.94351431) × R
    0.000766989999999801 × 0.586946379317181 × 6371000     		du = 2868.10954412246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94396435)-sin(0.94351431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586581955892289-0.586946379317181)×R²
    abs(2.03099056-2.03022357)×0.000364423424892291×R²
    0.000766989999999801×0.000364423424892291×6371000²
    0.000766989999999801×0.000364423424892291×40589641000000     		ar = 8220904.81404612m²