Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6743 / 1453
↖ ↑ ↗
← N 81.371182°
W 31.838379°		 ← 366.56 m → N 81.371182°
W 31.816407°		 →
↑
366.59 m
↓
↑
366.59 m
↓
N 81.367886°
W 31.838379°		 ← 366.70 m →
134 402 m²		 N 81.367886°
W 31.816407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411590576171875 y=0.088714599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411590576171875 × 214)
    floor (0.411590576171875 × 16384)
    floor (6743.5)     		tx = 6743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088714599609375 × 214)
    floor (0.088714599609375 × 16384)
    floor (1453.5)     		ty = 1453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6743 / 1453 ti = "14/6743/1453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6743/1453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6743 ÷ 214
    6743 ÷ 16384     		x = 0.41156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1453 ÷ 214
    1453 ÷ 16384     		y = 0.08868408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55568454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08868408203125 × 2 - 1) × π
    0.8226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58437413231647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55568454} λ = -0.55568454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58437413231647))-π/2
    2×atan(13.2549906230913)-π/2
    2×1.49549569086051-π/2
    2.99099138172102-1.57079632675     		φ = 1.42019505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55568454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.838379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42019505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.371182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6743 KachelY 1453 -0.55568454 1.42019505 -31.838379 81.371182
    Oben rechts KachelX + 1 6744 KachelY 1453 -0.55530105 1.42019505 -31.816407 81.371182
    Unten links KachelX 6743 KachelY + 1 1454 -0.55568454 1.42013751 -31.838379 81.367886
    Unten rechts KachelX + 1 6744 KachelY + 1 1454 -0.55530105 1.42013751 -31.816407 81.367886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42019505-1.42013751) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dl = 366.587340000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42019505-1.42013751) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dr = 366.587340000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55568454--0.55530105) × cos(1.42019505) × R
    0.000383490000000042 × 0.150032630528938 × 6371000     		do = 366.561941890946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55568454--0.55530105) × cos(1.42013751) × R
    0.000383490000000042 × 0.150089518987898 × 6371000     		du = 366.700932615258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42019505)-sin(1.42013751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150032630528938-0.150089518987898)×R²
    abs(-0.55530105--0.55568454)×5.68884589601248e-05×R²
    0.000383490000000042×5.68884589601248e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.68884589601248e-05×40589641000000     		ar = 134402.443381038m²