Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6742 / 2636
↖ ↑ ↗
← N 53.852527°
E116.279297°		 ← 2 882.37 m → N 53.852527°
E116.323242°		 →
↑
2 883.26 m
↓
↑
2 883.26 m
↓
N 53.826597°
E116.279297°		 ← 2 884.16 m →
8 313 208 m²		 N 53.826597°
E116.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82305908203125 y=0.32183837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82305908203125 × 213)
    floor (0.82305908203125 × 8192)
    floor (6742.5)     		tx = 6742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32183837890625 × 213)
    floor (0.32183837890625 × 8192)
    floor (2636.5)     		ty = 2636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6742 / 2636 ti = "13/6742/2636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6742/2636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6742 ÷ 213
    6742 ÷ 8192     		x = 0.822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2636 ÷ 213
    2636 ÷ 8192     		y = 0.32177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822998046875 × 2 - 1) × π
    0.64599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02945658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32177734375 × 2 - 1) × π
    0.3564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11980597512451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02945658} λ = 2.02945658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11980597512451))-π/2
    2×atan(3.06425960302331)-π/2
    2×1.25535011323585-π/2
    2.51070022647169-1.57079632675     		φ = 0.93990390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02945658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93990390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.852527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6742 KachelY 2636 2.02945658 0.93990390 116.279297 53.852527
    Oben rechts KachelX + 1 6743 KachelY 2636 2.03022357 0.93990390 116.323242 53.852527
    Unten links KachelX 6742 KachelY + 1 2637 2.02945658 0.93945134 116.279297 53.826597
    Unten rechts KachelX + 1 6743 KachelY + 1 2637 2.03022357 0.93945134 116.323242 53.826597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93990390-0.93945134) × R
    0.000452560000000046 × 6371000     		dl = 2883.25976000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93990390-0.93945134) × R
    0.000452560000000046 × 6371000     		dr = 2883.25976000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02945658-2.03022357) × cos(0.93990390) × R
    0.000766989999999801 × 0.58986562864102 × 6371000     		do = 2882.37443635523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02945658-2.03022357) × cos(0.93945134) × R
    0.000766989999999801 × 0.590231011064945 × 6371000     		du = 2884.15987511802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93990390)-sin(0.93945134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58986562864102-0.590231011064945)×R²
    abs(2.03022357-2.02945658)×0.000365382423925031×R²
    0.000766989999999801×0.000365382423925031×6371000²
    0.000766989999999801×0.000365382423925031×40589641000000     		ar = 8313208.30935173m²