Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6742 / 2605
↖ ↑ ↗
← N 54.648413°
E116.279297°		 ← 2 827.29 m → N 54.648413°
E116.323242°		 →
↑
2 828.15 m
↓
↑
2 828.15 m
↓
N 54.622978°
E116.279297°		 ← 2 829.06 m →
7 998 495 m²		 N 54.622978°
E116.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82305908203125 y=0.31805419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82305908203125 × 213)
    floor (0.82305908203125 × 8192)
    floor (6742.5)     		tx = 6742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31805419921875 × 213)
    floor (0.31805419921875 × 8192)
    floor (2605.5)     		ty = 2605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6742 / 2605 ti = "13/6742/2605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6742/2605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6742 ÷ 213
    6742 ÷ 8192     		x = 0.822998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2605 ÷ 213
    2605 ÷ 8192     		y = 0.3179931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822998046875 × 2 - 1) × π
    0.64599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.02945658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3179931640625 × 2 - 1) × π
    0.364013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.14358267733606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02945658} λ = 2.02945658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14358267733606))-π/2
    2×atan(3.13799065826704)-π/2
    2×1.26229552796472-π/2
    2.52459105592944-1.57079632675     		φ = 0.95379473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02945658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.279297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95379473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.648413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6742 KachelY 2605 2.02945658 0.95379473 116.279297 54.648413
    Oben rechts KachelX + 1 6743 KachelY 2605 2.03022357 0.95379473 116.323242 54.648413
    Unten links KachelX 6742 KachelY + 1 2606 2.02945658 0.95335082 116.279297 54.622978
    Unten rechts KachelX + 1 6743 KachelY + 1 2606 2.03022357 0.95335082 116.323242 54.622978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95379473-0.95335082) × R
    0.000443909999999992 × 6371000     		dl = 2828.15060999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95379473-0.95335082) × R
    0.000443909999999992 × 6371000     		dr = 2828.15060999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02945658-2.03022357) × cos(0.95379473) × R
    0.000766989999999801 × 0.578592216547265 × 6371000     		do = 2827.28698380371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02945658-2.03022357) × cos(0.95335082) × R
    0.000766989999999801 × 0.578954220058383 × 6371000     		du = 2829.05591153174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95379473)-sin(0.95335082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578592216547265-0.578954220058383)×R²
    abs(2.03022357-2.02945658)×0.000362003511118036×R²
    0.000766989999999801×0.000362003511118036×6371000²
    0.000766989999999801×0.000362003511118036×40589641000000     		ar = 7998494.93625299m²