Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6742 / 1866
↖ ↑ ↗
← N 79.897448°
W 31.860352°		 ← 428.58 m → N 79.897448°
W 31.838379°		 →
↑
428.64 m
↓
↑
428.64 m
↓
N 79.893594°
W 31.860352°		 ← 428.74 m →
183 740 m²		 N 79.893594°
W 31.838379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411529541015625 y=0.113922119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411529541015625 × 214)
    floor (0.411529541015625 × 16384)
    floor (6742.5)     		tx = 6742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113922119140625 × 214)
    floor (0.113922119140625 × 16384)
    floor (1866.5)     		ty = 1866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6742 / 1866 ti = "14/6742/1866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6742/1866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6742 ÷ 214
    6742 ÷ 16384     		x = 0.4114990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1866 ÷ 214
    1866 ÷ 16384     		y = 0.1138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4114990234375 × 2 - 1) × π
    -0.177001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55606804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1138916015625 × 2 - 1) × π
    0.772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4259906159718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55606804} λ = -0.55606804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4259906159718))-π/2
    2×atan(11.3134311356428)-π/2
    2×1.48263493400482-π/2
    2.96526986800964-1.57079632675     		φ = 1.39447354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55606804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.860352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39447354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.897448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6742 KachelY 1866 -0.55606804 1.39447354 -31.860352 79.897448
    Oben rechts KachelX + 1 6743 KachelY 1866 -0.55568454 1.39447354 -31.838379 79.897448
    Unten links KachelX 6742 KachelY + 1 1867 -0.55606804 1.39440626 -31.860352 79.893594
    Unten rechts KachelX + 1 6743 KachelY + 1 1867 -0.55568454 1.39440626 -31.838379 79.893594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39447354-1.39440626) × R
    6.72799999998919e-05 × 6371000     		dl = 428.640879999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39447354-1.39440626) × R
    6.72799999998919e-05 × 6371000     		dr = 428.640879999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55606804--0.55568454) × cos(1.39447354) × R
    0.000383499999999981 × 0.175410568151843 × 6371000     		do = 428.57686983816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55606804--0.55568454) × cos(1.39440626) × R
    0.000383499999999981 × 0.175476804603246 × 6371000     		du = 428.738703935792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39447354)-sin(1.39440626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175410568151843-0.175476804603246)×R²
    abs(-0.55568454--0.55606804)×6.6236451403745e-05×R²
    0.000383499999999981×6.6236451403745e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.6236451403745e-05×40589641000000     		ar = 183740.251058894m²