Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6741 / 2902
↖ ↑ ↗
← N 46.377254°
E116.235351°		 ← 3 371.23 m → N 46.377254°
E116.279297°		 →
↑
3 372.11 m
↓
↑
3 372.11 m
↓
N 46.346928°
E116.235351°		 ← 3 373.10 m →
11 371 289 m²		 N 46.346928°
E116.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82293701171875 y=0.35430908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82293701171875 × 213)
    floor (0.82293701171875 × 8192)
    floor (6741.5)     		tx = 6741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35430908203125 × 213)
    floor (0.35430908203125 × 8192)
    floor (2902.5)     		ty = 2902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6741 / 2902 ti = "13/6741/2902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6741/2902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6741 ÷ 213
    6741 ÷ 8192     		x = 0.8228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2902 ÷ 213
    2902 ÷ 8192     		y = 0.354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8228759765625 × 2 - 1) × π
    0.645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02868959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.354248046875 × 2 - 1) × π
    0.29150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.915786530341553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02868959} λ = 2.02868959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.915786530341553))-π/2
    2×atan(2.49873981388908)-π/2
    2×1.19011605534511-π/2
    2.38023211069022-1.57079632675     		φ = 0.80943578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02868959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.235351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80943578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.377254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6741 KachelY 2902 2.02868959 0.80943578 116.235351 46.377254
    Oben rechts KachelX + 1 6742 KachelY 2902 2.02945658 0.80943578 116.279297 46.377254
    Unten links KachelX 6741 KachelY + 1 2903 2.02868959 0.80890649 116.235351 46.346928
    Unten rechts KachelX + 1 6742 KachelY + 1 2903 2.02945658 0.80890649 116.279297 46.346928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80943578-0.80890649) × R
    0.000529290000000016 × 6371000     		dl = 3372.1065900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80943578-0.80890649) × R
    0.000529290000000016 × 6371000     		dr = 3372.1065900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02868959-2.02945658) × cos(0.80943578) × R
    0.000766990000000245 × 0.689906980490674 × 6371000     		do = 3371.22583089292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02868959-2.02945658) × cos(0.80890649) × R
    0.000766990000000245 × 0.690290035823246 × 6371000     		du = 3373.09762820523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80943578)-sin(0.80890649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689906980490674-0.690290035823246)×R²
    abs(2.02945658-2.02868959)×0.00038305533257188×R²
    0.000766990000000245×0.00038305533257188×6371000²
    0.000766990000000245×0.00038305533257188×40589641000000     		ar = 11371289.0562314m²