Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6741 / 1450
↖ ↑ ↗
← N 81.381067°
W 31.882324°		 ← 366.15 m → N 81.381067°
W 31.860352°		 →
↑
366.27 m
↓
↑
366.27 m
↓
N 81.377773°
W 31.882324°		 ← 366.28 m →
134 133 m²		 N 81.377773°
W 31.860352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411468505859375 y=0.088531494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411468505859375 × 214)
    floor (0.411468505859375 × 16384)
    floor (6741.5)     		tx = 6741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088531494140625 × 214)
    floor (0.088531494140625 × 16384)
    floor (1450.5)     		ty = 1450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6741 / 1450 ti = "14/6741/1450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6741/1450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6741 ÷ 214
    6741 ÷ 16384     		x = 0.41143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1450 ÷ 214
    1450 ÷ 16384     		y = 0.0885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1771240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55645153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0885009765625 × 2 - 1) × π
    0.822998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58552461790735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55645153} λ = -0.55645153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58552461790735))-π/2
    2×atan(13.2702490744416)-π/2
    2×1.49558194698119-π/2
    2.99116389396238-1.57079632675     		φ = 1.42036757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55645153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.882324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42036757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.381067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6741 KachelY 1450 -0.55645153 1.42036757 -31.882324 81.381067
    Oben rechts KachelX + 1 6742 KachelY 1450 -0.55606804 1.42036757 -31.860352 81.381067
    Unten links KachelX 6741 KachelY + 1 1451 -0.55645153 1.42031008 -31.882324 81.377773
    Unten rechts KachelX + 1 6742 KachelY + 1 1451 -0.55606804 1.42031008 -31.860352 81.377773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42036757-1.42031008) × R
    5.74900000001044e-05 × 6371000     		dl = 366.268790000665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42036757-1.42031008) × R
    5.74900000001044e-05 × 6371000     		dr = 366.268790000665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55645153--0.55606804) × cos(1.42036757) × R
    0.000383490000000042 × 0.149862061043088 × 6371000     		do = 366.145204000396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55645153--0.55606804) × cos(1.42031008) × R
    0.000383490000000042 × 0.149918901555914 × 6371000     		du = 366.284077582002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42036757)-sin(1.42031008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149862061043088-0.149918901555914)×R²
    abs(-0.55606804--0.55645153)×5.68405128253402e-05×R²
    0.000383490000000042×5.68405128253402e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.68405128253402e-05×40589641000000     		ar = 134132.993400431m²