Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6740 / 2628
↖ ↑ ↗
← N 54.059388°
E116.191406°		 ← 2 868.11 m → N 54.059388°
E116.235351°		 →
↑
2 868.99 m
↓
↑
2 868.99 m
↓
N 54.033586°
E116.191406°		 ← 2 869.89 m →
8 231 129 m²		 N 54.033586°
E116.235351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82281494140625 y=0.32086181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82281494140625 × 213)
    floor (0.82281494140625 × 8192)
    floor (6740.5)     		tx = 6740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32086181640625 × 213)
    floor (0.32086181640625 × 8192)
    floor (2628.5)     		ty = 2628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6740 / 2628 ti = "13/6740/2628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6740/2628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6740 ÷ 213
    6740 ÷ 8192     		x = 0.82275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2628 ÷ 213
    2628 ÷ 8192     		y = 0.32080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82275390625 × 2 - 1) × π
    0.6455078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.02792260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32080078125 × 2 - 1) × π
    0.3583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12594189827588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02792260} λ = 2.02792260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12594189827588))-π/2
    2×atan(3.08311946662807)-π/2
    2×1.25715531850516-π/2
    2.51431063701033-1.57079632675     		φ = 0.94351431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02792260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.191406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94351431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.059388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6740 KachelY 2628 2.02792260 0.94351431 116.191406 54.059388
    Oben rechts KachelX + 1 6741 KachelY 2628 2.02868959 0.94351431 116.235351 54.059388
    Unten links KachelX 6740 KachelY + 1 2629 2.02792260 0.94306399 116.191406 54.033586
    Unten rechts KachelX + 1 6741 KachelY + 1 2629 2.02868959 0.94306399 116.235351 54.033586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94351431-0.94306399) × R
    0.000450320000000004 × 6371000     		dl = 2868.98872000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94351431-0.94306399) × R
    0.000450320000000004 × 6371000     		dr = 2868.98872000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02792260-2.02868959) × cos(0.94351431) × R
    0.000766989999999801 × 0.586946379317181 × 6371000     		do = 2868.10954412246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02792260-2.02868959) × cos(0.94306399) × R
    0.000766989999999801 × 0.587310910485521 × 6371000     		du = 2869.89082323054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94351431)-sin(0.94306399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586946379317181-0.587310910485521)×R²
    abs(2.02868959-2.02792260)×0.000364531168339566×R²
    0.000766989999999801×0.000364531168339566×6371000²
    0.000766989999999801×0.000364531168339566×40589641000000     		ar = 8231129.30374463m²