Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6740 / 2331
↖ ↑ ↗
← N 77.938647°
W 31.904297°		 ← 510.54 m → N 77.938647°
W 31.882324°		 →
↑
510.64 m
↓
↑
510.64 m
↓
N 77.934055°
W 31.904297°		 ← 510.74 m →
260 751 m²		 N 77.934055°
W 31.882324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411407470703125 y=0.142303466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411407470703125 × 214)
    floor (0.411407470703125 × 16384)
    floor (6740.5)     		tx = 6740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142303466796875 × 214)
    floor (0.142303466796875 × 16384)
    floor (2331.5)     		ty = 2331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6740 / 2331 ti = "14/6740/2331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6740/2331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6740 ÷ 214
    6740 ÷ 16384     		x = 0.411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2331 ÷ 214
    2331 ÷ 16384     		y = 0.14227294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.411376953125 × 2 - 1) × π
    -0.17724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55683503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14227294921875 × 2 - 1) × π
    0.7154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24766534938519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55683503} λ = -0.55683503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24766534938519))-π/2
    2×atan(9.46561112484012)-π/2
    2×1.46554116959514-π/2
    2.93108233919029-1.57079632675     		φ = 1.36028601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55683503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.904297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36028601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.938647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6740 KachelY 2331 -0.55683503 1.36028601 -31.904297 77.938647
    Oben rechts KachelX + 1 6741 KachelY 2331 -0.55645153 1.36028601 -31.882324 77.938647
    Unten links KachelX 6740 KachelY + 1 2332 -0.55683503 1.36020586 -31.904297 77.934055
    Unten rechts KachelX + 1 6741 KachelY + 1 2332 -0.55645153 1.36020586 -31.882324 77.934055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36028601-1.36020586) × R
    8.01500000000566e-05 × 6371000     		dl = 510.63565000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36028601-1.36020586) × R
    8.01500000000566e-05 × 6371000     		dr = 510.63565000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55683503--0.55645153) × cos(1.36028601) × R
    0.000383499999999981 × 0.208958978282248 × 6371000     		do = 510.54497901896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55683503--0.55645153) × cos(1.36020586) × R
    0.000383499999999981 × 0.20903735825219 × 6371000     		du = 510.736483114349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36028601)-sin(1.36020586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208958978282248-0.20903735825219)×R²
    abs(-0.55645153--0.55683503)×7.83799699417553e-05×R²
    0.000383499999999981×7.83799699417553e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.83799699417553e-05×40589641000000     		ar = 260751.361765514m²