Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 674 / 287
↖ ↑ ↗
← N 82.320646°
W120.761719°		 ← 1 305.96 m → N 82.320646°
W120.673828°		 →
↑
1 306.95 m
↓
↑
1 306.95 m
↓
N 82.308893°
W120.761719°		 ← 1 307.94 m →
1 708 113 m²		 N 82.308893°
W120.673828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1646728515625 y=0.0701904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1646728515625 × 212)
    floor (0.1646728515625 × 4096)
    floor (674.5)     		tx = 674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0701904296875 × 212)
    floor (0.0701904296875 × 4096)
    floor (287.5)     		ty = 287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 674 / 287 ti = "12/674/287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/674/287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 674 ÷ 212
    674 ÷ 4096     		x = 0.16455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 287 ÷ 212
    287 ÷ 4096     		y = 0.070068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16455078125 × 2 - 1) × π
    -0.6708984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10768960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.070068359375 × 2 - 1) × π
    0.85986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.7013401673894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10768960} λ = -2.10768960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7013401673894))-π/2
    2×atan(14.8996864244258)-π/2
    2×1.50378132261519-π/2
    3.00756264523038-1.57079632675     		φ = 1.43676632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10768960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.761719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43676632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.320646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 674 KachelY 287 -2.10768960 1.43676632 -120.761719 82.320646
    Oben rechts KachelX + 1 675 KachelY 287 -2.10615562 1.43676632 -120.673828 82.320646
    Unten links KachelX 674 KachelY + 1 288 -2.10768960 1.43656118 -120.761719 82.308893
    Unten rechts KachelX + 1 675 KachelY + 1 288 -2.10615562 1.43656118 -120.673828 82.308893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43676632-1.43656118) × R
    0.000205140000000048 × 6371000     		dl = 1306.94694000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43676632-1.43656118) × R
    0.000205140000000048 × 6371000     		dr = 1306.94694000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10768960--2.10615562) × cos(1.43676632) × R
    0.00153398000000005 × 0.133629080282757 × 6371000     		do = 1305.95520830117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10768960--2.10615562) × cos(1.43656118) × R
    0.00153398000000005 × 0.133832377654437 × 6371000     		du = 1307.94203078635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43676632)-sin(1.43656118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133629080282757-0.133832377654437)×R²
    abs(-2.10615562--2.10768960)×0.000203297371680206×R²
    0.00153398000000005×0.000203297371680206×6371000²
    0.00153398000000005×0.000203297371680206×40589641000000     		ar = 1708112.50503619m²