Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6739 / 2606
↖ ↑ ↗
← N 54.622978°
E116.147461°		 ← 2 829.06 m → N 54.622978°
E116.191406°		 →
↑
2 830 m
↓
↑
2 830 m
↓
N 54.597528°
E116.147461°		 ← 2 830.83 m →
8 008 727 m²		 N 54.597528°
E116.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82269287109375 y=0.31817626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82269287109375 × 213)
    floor (0.82269287109375 × 8192)
    floor (6739.5)     		tx = 6739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31817626953125 × 213)
    floor (0.31817626953125 × 8192)
    floor (2606.5)     		ty = 2606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6739 / 2606 ti = "13/6739/2606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6739/2606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6739 ÷ 213
    6739 ÷ 8192     		x = 0.8226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2606 ÷ 213
    2606 ÷ 8192     		y = 0.318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8226318359375 × 2 - 1) × π
    0.645263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02715561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318115234375 × 2 - 1) × π
    0.36376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14281568694214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02715561} λ = 2.02715561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14281568694214))-π/2
    2×atan(3.13558477233958)-π/2
    2×1.26207357121815-π/2
    2.5241471424363-1.57079632675     		φ = 0.95335082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02715561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95335082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.622978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6739 KachelY 2606 2.02715561 0.95335082 116.147461 54.622978
    Oben rechts KachelX + 1 6740 KachelY 2606 2.02792260 0.95335082 116.191406 54.622978
    Unten links KachelX 6739 KachelY + 1 2607 2.02715561 0.95290662 116.147461 54.597528
    Unten rechts KachelX + 1 6740 KachelY + 1 2607 2.02792260 0.95290662 116.191406 54.597528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95335082-0.95290662) × R
    0.000444200000000006 × 6371000     		dl = 2829.99820000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95335082-0.95290662) × R
    0.000444200000000006 × 6371000     		dr = 2829.99820000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02715561-2.02792260) × cos(0.95335082) × R
    0.000766990000000245 × 0.578954220058383 × 6371000     		do = 2829.05591153338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02715561-2.02792260) × cos(0.95290662) × R
    0.000766990000000245 × 0.579316345862885 × 6371000     		du = 2830.82543684721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95335082)-sin(0.95290662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578954220058383-0.579316345862885)×R²
    abs(2.02792260-2.02715561)×0.000362125804501789×R²
    0.000766990000000245×0.000362125804501789×6371000²
    0.000766990000000245×0.000362125804501789×40589641000000     		ar = 8008727.1457511m²