Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6739 / 1900
↖ ↑ ↗
← N 79.765560°
W 31.926269°		 ← 434.10 m → N 79.765560°
W 31.904297°		 →
↑
434.18 m
↓
↑
434.18 m
↓
N 79.761655°
W 31.926269°		 ← 434.27 m →
188 515 m²		 N 79.761655°
W 31.904297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411346435546875 y=0.115997314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411346435546875 × 214)
    floor (0.411346435546875 × 16384)
    floor (6739.5)     		tx = 6739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115997314453125 × 214)
    floor (0.115997314453125 × 16384)
    floor (1900.5)     		ty = 1900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6739 / 1900 ti = "14/6739/1900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6739/1900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6739 ÷ 214
    6739 ÷ 16384     		x = 0.41131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1900 ÷ 214
    1900 ÷ 16384     		y = 0.115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55721852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115966796875 × 2 - 1) × π
    0.76806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41295177927515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55721852} λ = -0.55721852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41295177927515))-π/2
    2×atan(11.166874693691)-π/2
    2×1.48148398879272-π/2
    2.96296797758544-1.57079632675     		φ = 1.39217165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55721852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.926269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39217165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.765560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6739 KachelY 1900 -0.55721852 1.39217165 -31.926269 79.765560
    Oben rechts KachelX + 1 6740 KachelY 1900 -0.55683503 1.39217165 -31.904297 79.765560
    Unten links KachelX 6739 KachelY + 1 1901 -0.55721852 1.39210350 -31.926269 79.761655
    Unten rechts KachelX + 1 6740 KachelY + 1 1901 -0.55683503 1.39210350 -31.904297 79.761655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39217165-1.39210350) × R
    6.81500000001556e-05 × 6371000     		dl = 434.183650000991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39217165-1.39210350) × R
    6.81500000001556e-05 × 6371000     		dr = 434.183650000991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55721852--0.55683503) × cos(1.39217165) × R
    0.000383490000000042 × 0.177676301473069 × 6371000     		do = 434.101367591547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55721852--0.55683503) × cos(1.39210350) × R
    0.000383490000000042 × 0.177743366724794 × 6371000     		du = 434.265222406459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39217165)-sin(1.39210350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177676301473069-0.177743366724794)×R²
    abs(-0.55683503--0.55721852)×6.70652517258952e-05×R²
    0.000383490000000042×6.70652517258952e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.70652517258952e-05×40589641000000     		ar = 188515.28786566m²