Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6739 / 1449
↖ ↑ ↗
← N 81.384359°
W 31.926269°		 ← 366.01 m → N 81.384359°
W 31.904297°		 →
↑
366.08 m
↓
↑
366.08 m
↓
N 81.381067°
W 31.926269°		 ← 366.15 m →
134 012 m²		 N 81.381067°
W 31.904297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411346435546875 y=0.088470458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411346435546875 × 214)
    floor (0.411346435546875 × 16384)
    floor (6739.5)     		tx = 6739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.088470458984375 × 214)
    floor (0.088470458984375 × 16384)
    floor (1449.5)     		ty = 1449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6739 / 1449 ti = "14/6739/1449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6739/1449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6739 ÷ 214
    6739 ÷ 16384     		x = 0.41131591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1449 ÷ 214
    1449 ÷ 16384     		y = 0.08843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41131591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55721852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08843994140625 × 2 - 1) × π
    0.8231201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58590811310431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55721852} λ = -0.55721852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58590811310431))-π/2
    2×atan(13.2753391271671)-π/2
    2×1.49561067722493-π/2
    2.99122135444986-1.57079632675     		φ = 1.42042503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55721852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.926269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42042503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.384359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6739 KachelY 1449 -0.55721852 1.42042503 -31.926269 81.384359
    Oben rechts KachelX + 1 6740 KachelY 1449 -0.55683503 1.42042503 -31.904297 81.384359
    Unten links KachelX 6739 KachelY + 1 1450 -0.55721852 1.42036757 -31.926269 81.381067
    Unten rechts KachelX + 1 6740 KachelY + 1 1450 -0.55683503 1.42036757 -31.904297 81.381067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42042503-1.42036757) × R
    5.74600000000647e-05 × 6371000     		dl = 366.077660000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42042503-1.42036757) × R
    5.74600000000647e-05 × 6371000     		dr = 366.077660000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55721852--0.55683503) × cos(1.42042503) × R
    0.000383490000000042 × 0.14980524969642 × 6371000     		do = 366.006401677975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55721852--0.55683503) × cos(1.42036757) × R
    0.000383490000000042 × 0.149862061043088 × 6371000     		du = 366.145204000396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42042503)-sin(1.42036757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14980524969642-0.149862061043088)×R²
    abs(-0.55683503--0.55721852)×5.68113466686282e-05×R²
    0.000383490000000042×5.68113466686282e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.68113466686282e-05×40589641000000     		ar = 134012.173322487m²