Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67388 / 47253
↖ ↑ ↗
← N 44.799378°
E  5.086670°		 ← 216.68 m → N 44.799378°
E  5.089416°		 →
↑
216.74 m
↓
↑
216.74 m
↓
N 44.797429°
E  5.086670°		 ← 216.69 m →
46 964 m²		 N 44.797429°
E  5.089416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514133453369141 y=0.360515594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514133453369141 × 217)
    floor (0.514133453369141 × 131072)
    floor (67388.5)     		tx = 67388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360515594482422 × 217)
    floor (0.360515594482422 × 131072)
    floor (47253.5)     		ty = 47253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67388 / 47253 ti = "17/67388/47253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67388/47253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67388 ÷ 217
    67388 ÷ 131072     		x = 0.514129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47253 ÷ 217
    47253 ÷ 131072     		y = 0.360511779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514129638671875 × 2 - 1) × π
    0.02825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08877914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.360511779785156 × 2 - 1) × π
    0.278976440429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.876430335753487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08877914} λ = 0.08877914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.876430335753487))-π/2
    2×atan(2.40230894612054)-π/2
    2×1.17634648739633-π/2
    2.35269297479267-1.57079632675     		φ = 0.78189665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08877914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.086670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78189665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.799378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67388 KachelY 47253 0.08877914 0.78189665 5.086670 44.799378
    Oben rechts KachelX + 1 67389 KachelY 47253 0.08882707 0.78189665 5.089416 44.799378
    Unten links KachelX 67388 KachelY + 1 47254 0.08877914 0.78186263 5.086670 44.797429
    Unten rechts KachelX + 1 67389 KachelY + 1 47254 0.08882707 0.78186263 5.089416 44.797429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78189665-0.78186263) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dl = 216.741419999796m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78189665-0.78186263) × R
    3.4019999999968e-05 × 6371000     		dr = 216.741419999796m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08877914-0.08882707) × cos(0.78189665) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.709578385223994 × 6371000     		do = 216.678296156065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08877914-0.08882707) × cos(0.78186263) × R
    4.79299999999877e-05 × 0.709602356207159 × 6371000     		du = 216.685615984146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78189665)-sin(0.78186263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709578385223994-0.709602356207159)×R²
    abs(0.08882707-0.08877914)×2.39709831652002e-05×R²
    4.79299999999877e-05×2.39709831652002e-05×6371000²
    4.79299999999877e-05×2.39709831652002e-05×40589641000000     		ar = 46963.9548516106m²