Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6738 / 1676
↖ ↑ ↗
← N 80.604087°
W 31.948242°		 ← 398.88 m → N 80.604087°
W 31.926269°		 →
↑
398.95 m
↓
↑
398.95 m
↓
N 80.600499°
W 31.948242°		 ← 399.03 m →
159 164 m²		 N 80.600499°
W 31.926269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411285400390625 y=0.102325439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411285400390625 × 214)
    floor (0.411285400390625 × 16384)
    floor (6738.5)     		tx = 6738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102325439453125 × 214)
    floor (0.102325439453125 × 16384)
    floor (1676.5)     		ty = 1676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6738 / 1676 ti = "14/6738/1676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6738/1676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6738 ÷ 214
    6738 ÷ 16384     		x = 0.4112548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1676 ÷ 214
    1676 ÷ 16384     		y = 0.102294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55760202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102294921875 × 2 - 1) × π
    0.79541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49885470339429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55760202} λ = -0.55760202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49885470339429))-π/2
    2×atan(12.1685493785867)-π/2
    2×1.48880151262248-π/2
    2.97760302524495-1.57079632675     		φ = 1.40680670
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55760202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.948242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40680670 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.604087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6738 KachelY 1676 -0.55760202 1.40680670 -31.948242 80.604087
    Oben rechts KachelX + 1 6739 KachelY 1676 -0.55721852 1.40680670 -31.926269 80.604087
    Unten links KachelX 6738 KachelY + 1 1677 -0.55760202 1.40674408 -31.948242 80.600499
    Unten rechts KachelX + 1 6739 KachelY + 1 1677 -0.55721852 1.40674408 -31.926269 80.600499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40680670-1.40674408) × R
    6.26200000000132e-05 × 6371000     		dl = 398.952020000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40680670-1.40674408) × R
    6.26200000000132e-05 × 6371000     		dr = 398.952020000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55760202--0.55721852) × cos(1.40680670) × R
    0.000383499999999981 × 0.163255596645971 × 6371000     		do = 398.878889289753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55760202--0.55721852) × cos(1.40674408) × R
    0.000383499999999981 × 0.163317376203902 × 6371000     		du = 399.029833955385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40680670)-sin(1.40674408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163255596645971-0.163317376203902)×R²
    abs(-0.55721852--0.55760202)×6.17795579310187e-05×R²
    0.000383499999999981×6.17795579310187e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.17795579310187e-05×40589641000000     		ar = 159163.648508102m²