Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 67375 / 47052
↖ ↑ ↗
← N 45.189780°
E  5.050964°		 ← 215.25 m → N 45.189780°
E  5.053711°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
N 45.187845°
E  5.050964°		 ← 215.26 m →
46 326 m²		 N 45.187845°
E  5.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514034271240234 y=0.358982086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514034271240234 × 217)
    floor (0.514034271240234 × 131072)
    floor (67375.5)     		tx = 67375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358982086181641 × 217)
    floor (0.358982086181641 × 131072)
    floor (47052.5)     		ty = 47052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67375 / 47052 ti = "17/67375/47052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67375/47052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67375 ÷ 217
    67375 ÷ 131072     		x = 0.514030456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47052 ÷ 217
    47052 ÷ 131072     		y = 0.358978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514030456542969 × 2 - 1) × π
    0.0280609130859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08815596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358978271484375 × 2 - 1) × π
    0.28204345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.886065652577118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08815596} λ = 0.08815596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.886065652577118))-π/2
    2×atan(2.4255678273247)-π/2
    2×1.17975338885812-π/2
    2.35950677771623-1.57079632675     		φ = 0.78871045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08815596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.050964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78871045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.189780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67375 KachelY 47052 0.08815596 0.78871045 5.050964 45.189780
    Oben rechts KachelX + 1 67376 KachelY 47052 0.08820390 0.78871045 5.053711 45.189780
    Unten links KachelX 67375 KachelY + 1 47053 0.08815596 0.78867667 5.050964 45.187845
    Unten rechts KachelX + 1 67376 KachelY + 1 47053 0.08820390 0.78867667 5.053711 45.187845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78871045-0.78867667) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dl = 215.212379999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78871045-0.78867667) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dr = 215.212379999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08815596-0.08820390) × cos(0.78871045) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704760766234894 × 6371000     		do = 215.252078550243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08815596-0.08820390) × cos(0.78867667) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704784730886186 × 6371000     		du = 215.259397971598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78871045)-sin(0.78867667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704760766234894-0.704784730886186)×R²
    abs(0.08820390-0.08815596)×2.39646512922853e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39646512922853e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39646512922853e-05×40589641000000     		ar = 46325.6997441879m²