Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67373 / 47051
↖ ↑ ↗
← N 45.191715°
E  5.045471°		 ← 215.24 m → N 45.191715°
E  5.048218°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
N 45.189780°
E  5.045471°		 ← 215.25 m →
46 324 m²		 N 45.189780°
E  5.048218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.514019012451172 y=0.358974456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.514019012451172 × 217)
    floor (0.514019012451172 × 131072)
    floor (67373.5)     		tx = 67373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358974456787109 × 217)
    floor (0.358974456787109 × 131072)
    floor (47051.5)     		ty = 47051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67373 / 47051 ti = "17/67373/47051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67373/47051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67373 ÷ 217
    67373 ÷ 131072     		x = 0.514015197753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47051 ÷ 217
    47051 ÷ 131072     		y = 0.358970642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514015197753906 × 2 - 1) × π
    0.0280303955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08806008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358970642089844 × 2 - 1) × π
    0.282058715820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.886113589476738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08806008} λ = 0.08806008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.886113589476738))-π/2
    2×atan(2.42568410431312)-π/2
    2×1.17977028059392-π/2
    2.35954056118784-1.57079632675     		φ = 0.78874423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08806008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.045471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78874423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.191715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67373 KachelY 47051 0.08806008 0.78874423 5.045471 45.191715
    Oben rechts KachelX + 1 67374 KachelY 47051 0.08810802 0.78874423 5.048218 45.191715
    Unten links KachelX 67373 KachelY + 1 47052 0.08806008 0.78871045 5.045471 45.189780
    Unten rechts KachelX + 1 67374 KachelY + 1 47052 0.08810802 0.78871045 5.048218 45.189780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78874423-0.78871045) × R
    3.37800000000943e-05 × 6371000     		dl = 215.212380000601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78874423-0.78871045) × R
    3.37800000000943e-05 × 6371000     		dr = 215.212380000601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08806008-0.08810802) × cos(0.78874423) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704736800779407 × 6371000     		do = 215.244758883267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08806008-0.08810802) × cos(0.78871045) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.704760766234894 × 6371000     		du = 215.252078550243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78874423)-sin(0.78871045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704736800779407-0.704760766234894)×R²
    abs(0.08810802-0.08806008)×2.39654554866631e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39654554866631e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39654554866631e-05×40589641000000     		ar = 46324.1244877998m²