Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67352 / 47224
↖ ↑ ↗
← N 44.855869°
E  4.987793°		 ← 216.51 m → N 44.855869°
E  4.990540°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
N 44.853922°
E  4.987793°		 ← 216.52 m →
46 873 m²		 N 44.853922°
E  4.990540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513858795166016 y=0.360294342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513858795166016 × 217)
    floor (0.513858795166016 × 131072)
    floor (67352.5)     		tx = 67352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.360294342041016 × 217)
    floor (0.360294342041016 × 131072)
    floor (47224.5)     		ty = 47224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67352 / 47224 ti = "17/67352/47224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67352/47224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67352 ÷ 217
    67352 ÷ 131072     		x = 0.51385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47224 ÷ 217
    47224 ÷ 131072     		y = 0.36029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51385498046875 × 2 - 1) × π
    0.0277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08705341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36029052734375 × 2 - 1) × π
    0.2794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.877820505842468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08705341} λ = 0.08705341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.877820505842468))-π/2
    2×atan(2.40565088655653)-π/2
    2×1.17683946315406-π/2
    2.35367892630812-1.57079632675     		φ = 0.78288260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08705341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.987793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78288260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.855869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67352 KachelY 47224 0.08705341 0.78288260 4.987793 44.855869
    Oben rechts KachelX + 1 67353 KachelY 47224 0.08710135 0.78288260 4.990540 44.855869
    Unten links KachelX 67352 KachelY + 1 47225 0.08705341 0.78284862 4.987793 44.853922
    Unten rechts KachelX + 1 67353 KachelY + 1 47225 0.08710135 0.78284862 4.990540 44.853922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78288260-0.78284862) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78288260-0.78284862) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08705341-0.08710135) × cos(0.78288260) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708883313941751 × 6371000     		do = 216.511210734295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08705341-0.08710135) × cos(0.78284862) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.708907280502288 × 6371000     		du = 216.518530738782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78288260)-sin(0.78284862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708883313941751-0.708907280502288)×R²
    abs(0.08710135-0.08705341)×2.39665605370476e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39665605370476e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39665605370476e-05×40589641000000     		ar = 46872.5638893714m²