Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67350 / 46991
↖ ↑ ↗
← N 45.307734°
E  4.982300°		 ← 214.76 m → N 45.307734°
E  4.985046°		 →
↑
214.77 m
↓
↑
214.77 m
↓
N 45.305803°
E  4.982300°		 ← 214.77 m →
46 124 m²		 N 45.305803°
E  4.985046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513843536376953 y=0.358516693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513843536376953 × 217)
    floor (0.513843536376953 × 131072)
    floor (67350.5)     		tx = 67350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358516693115234 × 217)
    floor (0.358516693115234 × 131072)
    floor (46991.5)     		ty = 46991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67350 / 46991 ti = "17/67350/46991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67350/46991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67350 ÷ 217
    67350 ÷ 131072     		x = 0.513839721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46991 ÷ 217
    46991 ÷ 131072     		y = 0.358512878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513839721679688 × 2 - 1) × π
    0.027679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08695754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358512878417969 × 2 - 1) × π
    0.282974243164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.888989803453941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08695754} λ = 0.08695754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.888989803453941))-π/2
    2×atan(2.43267093382997)-π/2
    2×1.18078273346582-π/2
    2.36156546693164-1.57079632675     		φ = 0.79076914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08695754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.982300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79076914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.307734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67350 KachelY 46991 0.08695754 0.79076914 4.982300 45.307734
    Oben rechts KachelX + 1 67351 KachelY 46991 0.08700547 0.79076914 4.985046 45.307734
    Unten links KachelX 67350 KachelY + 1 46992 0.08695754 0.79073543 4.982300 45.305803
    Unten rechts KachelX + 1 67351 KachelY + 1 46992 0.08700547 0.79073543 4.985046 45.305803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79076914-0.79073543) × R
    3.37099999999646e-05 × 6371000     		dl = 214.766409999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79076914-0.79073543) × R
    3.37099999999646e-05 × 6371000     		dr = 214.766409999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08695754-0.08700547) × cos(0.79076914) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.70329874640105 × 6371000     		do = 214.760732897487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08695754-0.08700547) × cos(0.79073543) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.703322710252269 × 6371000     		du = 214.768050547742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79076914)-sin(0.79073543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70329874640105-0.703322710252269)×R²
    abs(0.08700547-0.08695754)×2.39638512189444e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39638512189444e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39638512189444e-05×40589641000000     		ar = 46124.1774105344m²