Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6735 / 1347
↖ ↑ ↗
← N 81.713693°
W 32.014160°		 ← 352.12 m → N 81.713693°
W 31.992188°		 →
↑
352.19 m
↓
↑
352.19 m
↓
N 81.710526°
W 32.014160°		 ← 352.25 m →
124 035 m²		 N 81.710526°
W 31.992188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.411102294921875 y=0.082244873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.411102294921875 × 214)
    floor (0.411102294921875 × 16384)
    floor (6735.5)     		tx = 6735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.082244873046875 × 214)
    floor (0.082244873046875 × 16384)
    floor (1347.5)     		ty = 1347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6735 / 1347 ti = "14/6735/1347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6735/1347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6735 ÷ 214
    6735 ÷ 16384     		x = 0.41107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1347 ÷ 214
    1347 ÷ 16384     		y = 0.08221435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.1778564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55875250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08221435546875 × 2 - 1) × π
    0.8355712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.62502462319428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55875250} λ = -0.55875250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62502462319428))-π/2
    2×atan(13.8049141029641)-π/2
    2×1.49848465632126-π/2
    2.99696931264252-1.57079632675     		φ = 1.42617299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55875250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.014160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42617299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.713693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6735 KachelY 1347 -0.55875250 1.42617299 -32.014160 81.713693
    Oben rechts KachelX + 1 6736 KachelY 1347 -0.55836901 1.42617299 -31.992188 81.713693
    Unten links KachelX 6735 KachelY + 1 1348 -0.55875250 1.42611771 -32.014160 81.710526
    Unten rechts KachelX + 1 6736 KachelY + 1 1348 -0.55836901 1.42611771 -31.992188 81.710526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42617299-1.42611771) × R
    5.52799999999909e-05 × 6371000     		dl = 352.188879999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42617299-1.42611771) × R
    5.52799999999909e-05 × 6371000     		dr = 352.188879999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55875250--0.55836901) × cos(1.42617299) × R
    0.000383489999999931 × 0.144119709003421 × 6371000     		do = 352.115404567591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55875250--0.55836901) × cos(1.42611771) × R
    0.000383489999999931 × 0.144174411674396 × 6371000     		du = 352.24905494237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42617299)-sin(1.42611771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144119709003421-0.144174411674396)×R²
    abs(-0.55836901--0.55875250)×5.47026709752374e-05×R²
    0.000383489999999931×5.47026709752374e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.47026709752374e-05×40589641000000     		ar = 124034.665085067m²