Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6734 / 2607
↖ ↑ ↗
← N 54.597528°
E115.927734°		 ← 2 830.83 m → N 54.597528°
E115.971680°		 →
↑
2 831.65 m
↓
↑
2 831.65 m
↓
N 54.572062°
E115.927734°		 ← 2 832.60 m →
8 018 426 m²		 N 54.572062°
E115.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82208251953125 y=0.31829833984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82208251953125 × 213)
    floor (0.82208251953125 × 8192)
    floor (6734.5)     		tx = 6734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31829833984375 × 213)
    floor (0.31829833984375 × 8192)
    floor (2607.5)     		ty = 2607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6734 / 2607 ti = "13/6734/2607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6734/2607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6734 ÷ 213
    6734 ÷ 8192     		x = 0.822021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2607 ÷ 213
    2607 ÷ 8192     		y = 0.3182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.822021484375 × 2 - 1) × π
    0.64404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02332066
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3182373046875 × 2 - 1) × π
    0.363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14204869654822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02332066} λ = 2.02332066}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14204869654822))-π/2
    2×atan(3.13318073099603)-π/2
    2×1.26185147562234-π/2
    2.52370295124468-1.57079632675     		φ = 0.95290662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02332066} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95290662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.597528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6734 KachelY 2607 2.02332066 0.95290662 115.927734 54.597528
    Oben rechts KachelX + 1 6735 KachelY 2607 2.02408765 0.95290662 115.971680 54.597528
    Unten links KachelX 6734 KachelY + 1 2608 2.02332066 0.95246216 115.927734 54.572062
    Unten rechts KachelX + 1 6735 KachelY + 1 2608 2.02408765 0.95246216 115.971680 54.572062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95290662-0.95246216) × R
    0.000444460000000091 × 6371000     		dl = 2831.65466000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95290662-0.95246216) × R
    0.000444460000000091 × 6371000     		dr = 2831.65466000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02332066-2.02408765) × cos(0.95290662) × R
    0.000766989999999801 × 0.579316345862885 × 6371000     		do = 2830.82543684557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02332066-2.02408765) × cos(0.95246216) × R
    0.000766989999999801 × 0.579678569220153 × 6371000     		du = 2832.59543885034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95290662)-sin(0.95246216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579316345862885-0.579678569220153)×R²
    abs(2.02408765-2.02332066)×0.000362223357267544×R²
    0.000766989999999801×0.000362223357267544×6371000²
    0.000766989999999801×0.000362223357267544×40589641000000     		ar = 8018426.1891052m²