Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6733 / 1739
↖ ↑ ↗
← N 80.375381°
W 32.058105°		 ← 408.49 m → N 80.375381°
W 32.036133°		 →
↑
408.57 m
↓
↑
408.57 m
↓
N 80.371707°
W 32.058105°		 ← 408.64 m →
166 928 m²		 N 80.371707°
W 32.036133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410980224609375 y=0.106170654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410980224609375 × 214)
    floor (0.410980224609375 × 16384)
    floor (6733.5)     		tx = 6733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106170654296875 × 214)
    floor (0.106170654296875 × 16384)
    floor (1739.5)     		ty = 1739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6733 / 1739 ti = "14/6733/1739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6733/1739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6733 ÷ 214
    6733 ÷ 16384     		x = 0.41094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1739 ÷ 214
    1739 ÷ 16384     		y = 0.10614013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.55951949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10614013671875 × 2 - 1) × π
    0.7877197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.47469450598578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55951949} λ = -0.55951949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47469450598578))-π/2
    2×atan(11.8780778770808)-π/2
    2×1.48680568221696-π/2
    2.97361136443392-1.57079632675     		φ = 1.40281504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55951949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.058105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40281504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.375381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6733 KachelY 1739 -0.55951949 1.40281504 -32.058105 80.375381
    Oben rechts KachelX + 1 6734 KachelY 1739 -0.55913600 1.40281504 -32.036133 80.375381
    Unten links KachelX 6733 KachelY + 1 1740 -0.55951949 1.40275091 -32.058105 80.371707
    Unten rechts KachelX + 1 6734 KachelY + 1 1740 -0.55913600 1.40275091 -32.036133 80.371707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40281504-1.40275091) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dl = 408.572229999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40281504-1.40275091) × R
    6.41299999999401e-05 × 6371000     		dr = 408.572229999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55951949--0.55913600) × cos(1.40281504) × R
    0.000383490000000042 × 0.167192392708541 × 6371000     		do = 408.486926641041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55951949--0.55913600) × cos(1.40275091) × R
    0.000383490000000042 × 0.167255619689355 × 6371000     		du = 408.641403735692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40281504)-sin(1.40275091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167192392708541-0.167255619689355)×R²
    abs(-0.55913600--0.55951949)×6.32269808135688e-05×R²
    0.000383490000000042×6.32269808135688e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.32269808135688e-05×40589641000000     		ar = 166927.972125507m²