Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6732 / 2604
↖ ↑ ↗
← N 54.673831°
E115.839844°		 ← 2 825.52 m → N 54.673831°
E115.883789°		 →
↑
2 826.43 m
↓
↑
2 826.43 m
↓
N 54.648413°
E115.839844°		 ← 2 827.29 m →
7 988 631 m²		 N 54.648413°
E115.883789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82183837890625 y=0.31793212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82183837890625 × 213)
    floor (0.82183837890625 × 8192)
    floor (6732.5)     		tx = 6732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31793212890625 × 213)
    floor (0.31793212890625 × 8192)
    floor (2604.5)     		ty = 2604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6732 / 2604 ti = "13/6732/2604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6732/2604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6732 ÷ 213
    6732 ÷ 8192     		x = 0.82177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2604 ÷ 213
    2604 ÷ 8192     		y = 0.31787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82177734375 × 2 - 1) × π
    0.6435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02178668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31787109375 × 2 - 1) × π
    0.3642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14434966772998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02178668} λ = 2.02178668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14434966772998))-π/2
    2×atan(3.14039839019374)-π/2
    2×1.26251734590516-π/2
    2.52503469181031-1.57079632675     		φ = 0.95423837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02178668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95423837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.673831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6732 KachelY 2604 2.02178668 0.95423837 115.839844 54.673831
    Oben rechts KachelX + 1 6733 KachelY 2604 2.02255367 0.95423837 115.883789 54.673831
    Unten links KachelX 6732 KachelY + 1 2605 2.02178668 0.95379473 115.839844 54.648413
    Unten rechts KachelX + 1 6733 KachelY + 1 2605 2.02255367 0.95379473 115.883789 54.648413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95423837-0.95379473) × R
    0.000443639999999967 × 6371000     		dl = 2826.43043999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95423837-0.95379473) × R
    0.000443639999999967 × 6371000     		dr = 2826.43043999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02178668-2.02255367) × cos(0.95423837) × R
    0.000766990000000245 × 0.578230319306918 × 6371000     		do = 2825.51857536872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02178668-2.02255367) × cos(0.95379473) × R
    0.000766990000000245 × 0.578592216547265 × 6371000     		du = 2827.28698380534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95423837)-sin(0.95379473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578230319306918-0.578592216547265)×R²
    abs(2.02255367-2.02178668)×0.000361897240347298×R²
    0.000766990000000245×0.000361897240347298×6371000²
    0.000766990000000245×0.000361897240347298×40589641000000     		ar = 7988630.98294909m²