Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6732 / 1738
↖ ↑ ↗
← N 80.379054°
W 32.080078°		 ← 408.34 m → N 80.379054°
W 32.058105°		 →
↑
408.38 m
↓
↑
408.38 m
↓
N 80.375381°
W 32.080078°		 ← 408.50 m →
166 791 m²		 N 80.375381°
W 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410919189453125 y=0.106109619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410919189453125 × 214)
    floor (0.410919189453125 × 16384)
    floor (6732.5)     		tx = 6732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106109619140625 × 214)
    floor (0.106109619140625 × 16384)
    floor (1738.5)     		ty = 1738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6732 / 1738 ti = "14/6732/1738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6732/1738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6732 ÷ 214
    6732 ÷ 16384     		x = 0.410888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1738 ÷ 214
    1738 ÷ 16384     		y = 0.1060791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.55990299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1060791015625 × 2 - 1) × π
    0.787841796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47507800118274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55990299} λ = -0.55990299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47507800118274))-π/2
    2×atan(11.8826339364534)-π/2
    2×1.48683773489727-π/2
    2.97367546979455-1.57079632675     		φ = 1.40287914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55990299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.080078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40287914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.379054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6732 KachelY 1738 -0.55990299 1.40287914 -32.080078 80.379054
    Oben rechts KachelX + 1 6733 KachelY 1738 -0.55951949 1.40287914 -32.058105 80.379054
    Unten links KachelX 6732 KachelY + 1 1739 -0.55990299 1.40281504 -32.080078 80.375381
    Unten rechts KachelX + 1 6733 KachelY + 1 1739 -0.55951949 1.40281504 -32.058105 80.375381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40287914-1.40281504) × R
    6.41000000001224e-05 × 6371000     		dl = 408.38110000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40287914-1.40281504) × R
    6.41000000001224e-05 × 6371000     		dr = 408.38110000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55990299--0.55951949) × cos(1.40287914) × R
    0.000383499999999981 × 0.167129194618173 × 6371000     		do = 408.343167932877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55990299--0.55951949) × cos(1.40281504) × R
    0.000383499999999981 × 0.167192392708541 × 6371000     		du = 408.497578468316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40287914)-sin(1.40281504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167129194618173-0.167192392708541)×R²
    abs(-0.55951949--0.55990299)×6.31980903685048e-05×R²
    0.000383499999999981×6.31980903685048e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.31980903685048e-05×40589641000000     		ar = 166791.161328091m²