Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6731 / 1735
↖ ↑ ↗
← N 80.390064°
W 32.102051°		 ← 407.87 m → N 80.390064°
W 32.080078°		 →
↑
407.94 m
↓
↑
407.94 m
↓
N 80.386396°
W 32.102051°		 ← 408.02 m →
166 416 m²		 N 80.386396°
W 32.080078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410858154296875 y=0.105926513671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410858154296875 × 214)
    floor (0.410858154296875 × 16384)
    floor (6731.5)     		tx = 6731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105926513671875 × 214)
    floor (0.105926513671875 × 16384)
    floor (1735.5)     		ty = 1735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6731 / 1735 ti = "14/6731/1735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6731/1735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6731 ÷ 214
    6731 ÷ 16384     		x = 0.41082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1735 ÷ 214
    1735 ÷ 16384     		y = 0.10589599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.56028648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10589599609375 × 2 - 1) × π
    0.7882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47622848677362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56028648} λ = -0.56028648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47622848677362))-π/2
    2×atan(11.8963126026244)-π/2
    2×1.48693382025479-π/2
    2.97386764050957-1.57079632675     		φ = 1.40307131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56028648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.102051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40307131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.390064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6731 KachelY 1735 -0.56028648 1.40307131 -32.102051 80.390064
    Oben rechts KachelX + 1 6732 KachelY 1735 -0.55990299 1.40307131 -32.080078 80.390064
    Unten links KachelX 6731 KachelY + 1 1736 -0.56028648 1.40300728 -32.102051 80.386396
    Unten rechts KachelX + 1 6732 KachelY + 1 1736 -0.55990299 1.40300728 -32.080078 80.386396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40307131-1.40300728) × R
    6.40300000001037e-05 × 6371000     		dl = 407.935130000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40307131-1.40300728) × R
    6.40300000001037e-05 × 6371000     		dr = 407.935130000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56028648--0.55990299) × cos(1.40307131) × R
    0.000383490000000042 × 0.166939724403619 × 6371000     		do = 407.869603701489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56028648--0.55990299) × cos(1.40300728) × R
    0.000383490000000042 × 0.167002855534975 × 6371000     		du = 408.023846615328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40307131)-sin(1.40300728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166939724403619-0.167002855534975)×R²
    abs(-0.55990299--0.56028648)×6.31311313559757e-05×R²
    0.000383490000000042×6.31311313559757e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.31311313559757e-05×40589641000000     		ar = 166415.800417372m²