Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6729 / 1689
↖ ↑ ↗
← N 80.557338°
W 32.145996°		 ← 400.84 m → N 80.557338°
W 32.124024°		 →
↑
400.93 m
↓
↑
400.93 m
↓
N 80.553733°
W 32.145996°		 ← 400.99 m →
160 736 m²		 N 80.553733°
W 32.124024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410736083984375 y=0.103118896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410736083984375 × 214)
    floor (0.410736083984375 × 16384)
    floor (6729.5)     		tx = 6729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103118896484375 × 214)
    floor (0.103118896484375 × 16384)
    floor (1689.5)     		ty = 1689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6729 / 1689 ti = "14/6729/1689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6729/1689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6729 ÷ 214
    6729 ÷ 16384     		x = 0.41070556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1689 ÷ 214
    1689 ÷ 16384     		y = 0.10308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41070556640625 × 2 - 1) × π
    -0.1785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56105347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10308837890625 × 2 - 1) × π
    0.7938232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4938692658338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56105347} λ = -0.56105347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4938692658338))-π/2
    2×atan(12.1080348066068)-π/2
    2×1.48839355992619-π/2
    2.97678711985238-1.57079632675     		φ = 1.40599079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56105347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.145996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40599079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.557338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6729 KachelY 1689 -0.56105347 1.40599079 -32.145996 80.557338
    Oben rechts KachelX + 1 6730 KachelY 1689 -0.56066998 1.40599079 -32.124024 80.557338
    Unten links KachelX 6729 KachelY + 1 1690 -0.56105347 1.40592786 -32.145996 80.553733
    Unten rechts KachelX + 1 6730 KachelY + 1 1690 -0.56066998 1.40592786 -32.124024 80.553733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40599079-1.40592786) × R
    6.29299999999056e-05 × 6371000     		dl = 400.927029999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40599079-1.40592786) × R
    6.29299999999056e-05 × 6371000     		dr = 400.927029999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56105347--0.56066998) × cos(1.40599079) × R
    0.000383490000000042 × 0.164060505811059 × 6371000     		do = 400.835054252503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56105347--0.56066998) × cos(1.40592786) × R
    0.000383490000000042 × 0.16412258280214 × 6371000     		du = 400.986721675232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40599079)-sin(1.40592786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164060505811059-0.16412258280214)×R²
    abs(-0.56066998--0.56105347)×6.20769910814889e-05×R²
    0.000383490000000042×6.20769910814889e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.20769910814889e-05×40589641000000     		ar = 160736.011658666m²