Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67280 / 69872
↖ ↑ ↗
← S 11.824341°
E  4.790039°		 ← 298.94 m → S 11.824341°
E  4.792786°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
S 11.827030°
E  4.790039°		 ← 298.94 m →
89 362 m²		 S 11.827030°
E  4.792786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513309478759766 y=0.533084869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513309478759766 × 217)
    floor (0.513309478759766 × 131072)
    floor (67280.5)     		tx = 67280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533084869384766 × 217)
    floor (0.533084869384766 × 131072)
    floor (69872.5)     		ty = 69872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67280 / 69872 ti = "17/67280/69872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67280/69872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67280 ÷ 217
    67280 ÷ 131072     		x = 0.5133056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69872 ÷ 217
    69872 ÷ 131072     		y = 0.5330810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5133056640625 × 2 - 1) × π
    0.026611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08360195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5330810546875 × 2 - 1) × π
    -0.066162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.207854396752563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08360195} λ = 0.08360195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.207854396752563))-π/2
    2×atan(0.812325305304012)-π/2
    2×0.682211318013697-π/2
    1.36442263602739-1.57079632675     		φ = -0.20637369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08360195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.790039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20637369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.824341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67280 KachelY 69872 0.08360195 -0.20637369 4.790039 -11.824341
    Oben rechts KachelX + 1 67281 KachelY 69872 0.08364989 -0.20637369 4.792786 -11.824341
    Unten links KachelX 67280 KachelY + 1 69873 0.08360195 -0.20642061 4.790039 -11.827030
    Unten rechts KachelX + 1 67281 KachelY + 1 69873 0.08364989 -0.20642061 4.792786 -11.827030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20637369--0.20642061) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20637369--0.20642061) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08360195-0.08364989) × cos(-0.20637369) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.978780422679815 × 6371000     		do = 298.944734894559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08360195-0.08364989) × cos(-0.20642061) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.97877080713638 × 6371000     		du = 298.94179806009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20637369)-sin(-0.20642061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978780422679815-0.97877080713638)×R²
    abs(0.08364989-0.08360195)×9.6155434347045e-06×R²
    4.79400000000102e-05×9.6155434347045e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×9.6155434347045e-06×40589641000000     		ar = 89362.3094965128m²