Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6728 / 1385
↖ ↑ ↗
← N 81.592487°
W 32.167969°		 ← 357.24 m → N 81.592487°
W 32.145996°		 →
↑
357.29 m
↓
↑
357.29 m
↓
N 81.589274°
W 32.167969°		 ← 357.37 m →
127 660 m²		 N 81.589274°
W 32.145996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410675048828125 y=0.084564208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410675048828125 × 214)
    floor (0.410675048828125 × 16384)
    floor (6728.5)     		tx = 6728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.084564208984375 × 214)
    floor (0.084564208984375 × 16384)
    floor (1385.5)     		ty = 1385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6728 / 1385 ti = "14/6728/1385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6728/1385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6728 ÷ 214
    6728 ÷ 16384     		x = 0.41064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1385 ÷ 214
    1385 ÷ 16384     		y = 0.08453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41064453125 × 2 - 1) × π
    -0.1787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56143697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08453369140625 × 2 - 1) × π
    0.8309326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.61045180570978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56143697} λ = -0.56143697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61045180570978))-π/2
    2×atan(13.6051963688386)-π/2
    2×1.49742693375414-π/2
    2.99485386750828-1.57079632675     		φ = 1.42405754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56143697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.167969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42405754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.592487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6728 KachelY 1385 -0.56143697 1.42405754 -32.167969 81.592487
    Oben rechts KachelX + 1 6729 KachelY 1385 -0.56105347 1.42405754 -32.145996 81.592487
    Unten links KachelX 6728 KachelY + 1 1386 -0.56143697 1.42400146 -32.167969 81.589274
    Unten rechts KachelX + 1 6729 KachelY + 1 1386 -0.56105347 1.42400146 -32.145996 81.589274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42405754-1.42400146) × R
    5.60800000000139e-05 × 6371000     		dl = 357.285680000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42405754-1.42400146) × R
    5.60800000000139e-05 × 6371000     		dr = 357.285680000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56143697--0.56105347) × cos(1.42405754) × R
    0.000383499999999981 × 0.146212750218484 × 6371000     		do = 357.238469034676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56143697--0.56105347) × cos(1.42400146) × R
    0.000383499999999981 × 0.146268227306236 × 6371000     		du = 357.374015010421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42405754)-sin(1.42400146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146212750218484-0.146268227306236)×R²
    abs(-0.56105347--0.56143697)×5.54770877514432e-05×R²
    0.000383499999999981×5.54770877514432e-05×6371000²
    0.000383499999999981×5.54770877514432e-05×40589641000000     		ar = 127660.403682563m²