Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6727 / 2613
↖ ↑ ↗
← N 54.444492°
E115.620117°		 ← 2 841.45 m → N 54.444492°
E115.664063°		 →
↑
2 842.36 m
↓
↑
2 842.36 m
↓
N 54.418930°
E115.620117°		 ← 2 843.23 m →
8 078 949 m²		 N 54.418930°
E115.664063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82122802734375 y=0.31903076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82122802734375 × 213)
    floor (0.82122802734375 × 8192)
    floor (6727.5)     		tx = 6727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31903076171875 × 213)
    floor (0.31903076171875 × 8192)
    floor (2613.5)     		ty = 2613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6727 / 2613 ti = "13/6727/2613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6727/2613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6727 ÷ 213
    6727 ÷ 8192     		x = 0.8211669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2613 ÷ 213
    2613 ÷ 8192     		y = 0.3189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8211669921875 × 2 - 1) × π
    0.642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01795173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3189697265625 × 2 - 1) × π
    0.362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13744675418469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01795173} λ = 2.01795173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13744675418469))-π/2
    2×atan(3.11879514007563)-π/2
    2×1.26051598381076-π/2
    2.52103196762152-1.57079632675     		φ = 0.95023564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01795173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95023564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.444492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6727 KachelY 2613 2.01795173 0.95023564 115.620117 54.444492
    Oben rechts KachelX + 1 6728 KachelY 2613 2.01871872 0.95023564 115.664063 54.444492
    Unten links KachelX 6727 KachelY + 1 2614 2.01795173 0.94978950 115.620117 54.418930
    Unten rechts KachelX + 1 6728 KachelY + 1 2614 2.01871872 0.94978950 115.664063 54.418930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95023564-0.94978950) × R
    0.000446140000000095 × 6371000     		dl = 2842.3579400006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95023564-0.94978950) × R
    0.000446140000000095 × 6371000     		dr = 2842.3579400006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01795173-2.01871872) × cos(0.95023564) × R
    0.000766989999999801 × 0.58149140008678 × 6371000     		do = 2841.45382471602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01795173-2.01871872) × cos(0.94978950) × R
    0.000766989999999801 × 0.581854300539116 × 6371000     		du = 2843.22713534129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95023564)-sin(0.94978950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58149140008678-0.581854300539116)×R²
    abs(2.01871872-2.01795173)×0.000362900452335446×R²
    0.000766989999999801×0.000362900452335446×6371000²
    0.000766989999999801×0.000362900452335446×40589641000000     		ar = 8078949.16560027m²