Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67268 / 69706
↖ ↑ ↗
← S 11.377724°
E  4.757080°		 ← 299.42 m → S 11.377724°
E  4.759827°		 →
↑
299.37 m
↓
↑
299.37 m
↓
S 11.380417°
E  4.757080°		 ← 299.42 m →
89 639 m²		 S 11.380417°
E  4.759827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513217926025391 y=0.531818389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513217926025391 × 217)
    floor (0.513217926025391 × 131072)
    floor (67268.5)     		tx = 67268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531818389892578 × 217)
    floor (0.531818389892578 × 131072)
    floor (69706.5)     		ty = 69706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67268 / 69706 ti = "17/67268/69706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67268/69706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67268 ÷ 217
    67268 ÷ 131072     		x = 0.513214111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69706 ÷ 217
    69706 ÷ 131072     		y = 0.531814575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513214111328125 × 2 - 1) × π
    0.02642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08302671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531814575195312 × 2 - 1) × π
    -0.063629150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.199896871415634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08302671} λ = 0.08302671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199896871415634))-π/2
    2×atan(0.818815191975481)-π/2
    2×0.686108790327174-π/2
    1.37221758065435-1.57079632675     		φ = -0.19857875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08302671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.757080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19857875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.377724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67268 KachelY 69706 0.08302671 -0.19857875 4.757080 -11.377724
    Oben rechts KachelX + 1 67269 KachelY 69706 0.08307465 -0.19857875 4.759827 -11.377724
    Unten links KachelX 67268 KachelY + 1 69707 0.08302671 -0.19862574 4.757080 -11.380417
    Unten rechts KachelX + 1 67269 KachelY + 1 69707 0.08307465 -0.19862574 4.759827 -11.380417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19857875--0.19862574) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dl = 299.373289999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19857875--0.19862574) × R
    4.69899999999968e-05 × 6371000     		dr = 299.373289999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08302671-0.08307465) × cos(-0.19857875) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980347946689235 × 6371000     		do = 299.423497075017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08302671-0.08307465) × cos(-0.19862574) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.98033867559775 × 6371000     		du = 299.42066544504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19857875)-sin(-0.19862574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980347946689235-0.98033867559775)×R²
    abs(0.08307465-0.08302671)×9.27109148463057e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.27109148463057e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.27109148463057e-06×40589641000000     		ar = 89638.9735819092m²