Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67260 / 69861
↖ ↑ ↗
← S 11.794769°
E  4.735107°		 ← 298.98 m → S 11.794769°
E  4.737854°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
S 11.797457°
E  4.735107°		 ← 298.97 m →
89 372 m²		 S 11.797457°
E  4.737854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513156890869141 y=0.533000946044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513156890869141 × 217)
    floor (0.513156890869141 × 131072)
    floor (67260.5)     		tx = 67260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533000946044922 × 217)
    floor (0.533000946044922 × 131072)
    floor (69861.5)     		ty = 69861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67260 / 69861 ti = "17/67260/69861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67260/69861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67260 ÷ 217
    67260 ÷ 131072     		x = 0.513153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69861 ÷ 217
    69861 ÷ 131072     		y = 0.532997131347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513153076171875 × 2 - 1) × π
    0.02630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08264321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532997131347656 × 2 - 1) × π
    -0.0659942626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.207327090856743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08264321} λ = 0.08264321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.207327090856743))-π/2
    2×atan(0.812753762180814)-π/2
    2×0.682469390288259-π/2
    1.36493878057652-1.57079632675     		φ = -0.20585755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08264321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.735107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20585755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.794769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67260 KachelY 69861 0.08264321 -0.20585755 4.735107 -11.794769
    Oben rechts KachelX + 1 67261 KachelY 69861 0.08269115 -0.20585755 4.737854 -11.794769
    Unten links KachelX 67260 KachelY + 1 69862 0.08264321 -0.20590447 4.735107 -11.797457
    Unten rechts KachelX + 1 67261 KachelY + 1 69862 0.08269115 -0.20590447 4.737854 -11.797457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20585755--0.20590447) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20585755--0.20590447) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08264321-0.08269115) × cos(-0.20585755) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.978886055526138 × 6371000     		do = 298.976997884815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08264321-0.08269115) × cos(-0.20590447) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.978876463687275 × 6371000     		du = 298.974068290333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20585755)-sin(-0.20590447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978886055526138-0.978876463687275)×R²
    abs(0.08269115-0.08264321)×9.5918388631766e-06×R²
    4.79400000000102e-05×9.5918388631766e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×9.5918388631766e-06×40589641000000     		ar = 89371.9548678513m²