Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67253 / 69859
↖ ↑ ↗
← S 11.789392°
E  4.715882°		 ← 298.92 m → S 11.789392°
E  4.718628°		 →
↑
298.93 m
↓
↑
298.93 m
↓
S 11.792080°
E  4.715882°		 ← 298.92 m →
89 355 m²		 S 11.792080°
E  4.718628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513103485107422 y=0.532985687255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513103485107422 × 217)
    floor (0.513103485107422 × 131072)
    floor (67253.5)     		tx = 67253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532985687255859 × 217)
    floor (0.532985687255859 × 131072)
    floor (69859.5)     		ty = 69859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67253 / 69859 ti = "17/67253/69859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67253/69859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67253 ÷ 217
    67253 ÷ 131072     		x = 0.513099670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69859 ÷ 217
    69859 ÷ 131072     		y = 0.532981872558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513099670410156 × 2 - 1) × π
    0.0261993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08230766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532981872558594 × 2 - 1) × π
    -0.0659637451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.207231217057503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08230766} λ = 0.08230766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.207231217057503))-π/2
    2×atan(0.812831687707289)-π/2
    2×0.682516315510611-π/2
    1.36503263102122-1.57079632675     		φ = -0.20576370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08230766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.715882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20576370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.789392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67253 KachelY 69859 0.08230766 -0.20576370 4.715882 -11.789392
    Oben rechts KachelX + 1 67254 KachelY 69859 0.08235559 -0.20576370 4.718628 -11.789392
    Unten links KachelX 67253 KachelY + 1 69860 0.08230766 -0.20581062 4.715882 -11.792080
    Unten rechts KachelX + 1 67254 KachelY + 1 69860 0.08235559 -0.20581062 4.718628 -11.792080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20576370--0.20581062) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dl = 298.927320000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20576370--0.20581062) × R
    4.69200000000058e-05 × 6371000     		dr = 298.927320000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08230766-0.08235559) × cos(-0.20576370) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978905234781978 × 6371000     		do = 298.920489670661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08230766-0.08235559) × cos(-0.20581062) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.978895647253604 × 6371000     		du = 298.917562003534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20576370)-sin(-0.20581062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978905234781978-0.978895647253604)×R²
    abs(0.08235559-0.08230766)×9.58752837409982e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.58752837409982e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.58752837409982e-06×40589641000000     		ar = 89355.0633068931m²