Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67245 / 69694
↖ ↑ ↗
← S 11.345411°
E  4.693909°		 ← 299.46 m → S 11.345411°
E  4.696655°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
S 11.348104°
E  4.693909°		 ← 299.45 m →
89 668 m²		 S 11.348104°
E  4.696655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513042449951172 y=0.531726837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513042449951172 × 217)
    floor (0.513042449951172 × 131072)
    floor (67245.5)     		tx = 67245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531726837158203 × 217)
    floor (0.531726837158203 × 131072)
    floor (69694.5)     		ty = 69694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67245 / 69694 ti = "17/67245/69694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67245/69694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67245 ÷ 217
    67245 ÷ 131072     		x = 0.513038635253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69694 ÷ 217
    69694 ÷ 131072     		y = 0.531723022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513038635253906 × 2 - 1) × π
    0.0260772705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08192416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531723022460938 × 2 - 1) × π
    -0.063446044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.199321628620193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08192416} λ = 0.08192416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199321628620193))-π/2
    2×atan(0.819286345016166)-π/2
    2×0.686390775358896-π/2
    1.37278155071779-1.57079632675     		φ = -0.19801478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08192416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.693909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19801478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.345411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67245 KachelY 69694 0.08192416 -0.19801478 4.693909 -11.345411
    Oben rechts KachelX + 1 67246 KachelY 69694 0.08197210 -0.19801478 4.696655 -11.345411
    Unten links KachelX 67245 KachelY + 1 69695 0.08192416 -0.19806178 4.693909 -11.348104
    Unten rechts KachelX + 1 67246 KachelY + 1 69695 0.08197210 -0.19806178 4.696655 -11.348104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19801478--0.19806178) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dl = 299.436999999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19801478--0.19806178) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dr = 299.436999999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08192416-0.08197210) × cos(-0.19801478) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.980459048642259 × 6371000     		do = 299.457430471322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08192416-0.08197210) × cos(-0.19806178) × R
    4.79400000000102e-05 × 0.980449801564583 × 6371000     		du = 299.45460617578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19801478)-sin(-0.19806178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980459048642259-0.980449801564583)×R²
    abs(0.08197210-0.08192416)×9.24707767580024e-06×R²
    4.79400000000102e-05×9.24707767580024e-06×6371000²
    4.79400000000102e-05×9.24707767580024e-06×40589641000000     		ar = 89668.2117752422m²