Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67243 / 69705
↖ ↑ ↗
← S 11.375031°
E  4.688416°		 ← 299.36 m → S 11.375031°
E  4.691162°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
S 11.377724°
E  4.688416°		 ← 299.36 m →
89 640 m²		 S 11.377724°
E  4.691162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513027191162109 y=0.531810760498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513027191162109 × 217)
    floor (0.513027191162109 × 131072)
    floor (67243.5)     		tx = 67243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531810760498047 × 217)
    floor (0.531810760498047 × 131072)
    floor (69705.5)     		ty = 69705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67243 / 69705 ti = "17/67243/69705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67243/69705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67243 ÷ 217
    67243 ÷ 131072     		x = 0.513023376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69705 ÷ 217
    69705 ÷ 131072     		y = 0.531806945800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513023376464844 × 2 - 1) × π
    0.0260467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08182829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531806945800781 × 2 - 1) × π
    -0.0636138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.199848934516014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08182829} λ = 0.08182829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199848934516014))-π/2
    2×atan(0.818854444377958)-π/2
    2×0.686132287858846-π/2
    1.37226457571769-1.57079632675     		φ = -0.19853175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08182829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.688416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19853175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.375031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67243 KachelY 69705 0.08182829 -0.19853175 4.688416 -11.375031
    Oben rechts KachelX + 1 67244 KachelY 69705 0.08187622 -0.19853175 4.691162 -11.375031
    Unten links KachelX 67243 KachelY + 1 69706 0.08182829 -0.19857875 4.688416 -11.377724
    Unten rechts KachelX + 1 67244 KachelY + 1 69706 0.08187622 -0.19857875 4.691162 -11.377724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19853175--0.19857875) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dl = 299.436999999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19853175--0.19857875) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dr = 299.436999999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08182829-0.08187622) × cos(-0.19853175) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980357217588353 × 6371000     		do = 299.363870087941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08182829-0.08187622) × cos(-0.19857875) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980347946689235 × 6371000     		du = 299.361039107366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19853175)-sin(-0.19857875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980357217588353-0.980347946689235)×R²
    abs(0.08187622-0.08182829)×9.27089911872958e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.27089911872958e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.27089911872958e-06×40589641000000     		ar = 89640.1953338753m²