Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67243 / 69691
↖ ↑ ↗
← S 11.337332°
E  4.688416°		 ← 299.40 m → S 11.337332°
E  4.691162°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
S 11.340025°
E  4.688416°		 ← 299.40 m →
89 652 m²		 S 11.340025°
E  4.691162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513027191162109 y=0.531703948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513027191162109 × 217)
    floor (0.513027191162109 × 131072)
    floor (67243.5)     		tx = 67243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531703948974609 × 217)
    floor (0.531703948974609 × 131072)
    floor (69691.5)     		ty = 69691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67243 / 69691 ti = "17/67243/69691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67243/69691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67243 ÷ 217
    67243 ÷ 131072     		x = 0.513023376464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69691 ÷ 217
    69691 ÷ 131072     		y = 0.531700134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513023376464844 × 2 - 1) × π
    0.0260467529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08182829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531700134277344 × 2 - 1) × π
    -0.0634002685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.199177817921333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08182829} λ = 0.08182829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199177817921333))-π/2
    2×atan(0.819404175630458)-π/2
    2×0.68646127660648-π/2
    1.37292255321296-1.57079632675     		φ = -0.19787377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08182829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.688416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19787377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.337332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67243 KachelY 69691 0.08182829 -0.19787377 4.688416 -11.337332
    Oben rechts KachelX + 1 67244 KachelY 69691 0.08187622 -0.19787377 4.691162 -11.337332
    Unten links KachelX 67243 KachelY + 1 69692 0.08182829 -0.19792077 4.688416 -11.340025
    Unten rechts KachelX + 1 67244 KachelY + 1 69692 0.08187622 -0.19792077 4.691162 -11.340025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19787377--0.19792077) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dl = 299.436999999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19787377--0.19792077) × R
    4.69999999999915e-05 × 6371000     		dr = 299.436999999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08182829-0.08187622) × cos(-0.19787377) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.980486778846051 × 6371000     		do = 299.403433176601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08182829-0.08187622) × cos(-0.19792077) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.9804775382664 × 6371000     		du = 299.40061145444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19787377)-sin(-0.19792077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980486778846051-0.9804775382664)×R²
    abs(0.08187622-0.08182829)×9.24057965157044e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.24057965157044e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.24057965157044e-06×40589641000000     		ar = 89652.0433726222m²