Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67241 / 69735
↖ ↑ ↗
← S 11.455799°
E  4.682922°		 ← 299.34 m → S 11.455799°
E  4.685669°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
S 11.458491°
E  4.682922°		 ← 299.34 m →
89 595 m²		 S 11.458491°
E  4.685669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513011932373047 y=0.532039642333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513011932373047 × 217)
    floor (0.513011932373047 × 131072)
    floor (67241.5)     		tx = 67241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532039642333984 × 217)
    floor (0.532039642333984 × 131072)
    floor (69735.5)     		ty = 69735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67241 / 69735 ti = "17/67241/69735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67241/69735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67241 ÷ 217
    67241 ÷ 131072     		x = 0.513008117675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69735 ÷ 217
    69735 ÷ 131072     		y = 0.532035827636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513008117675781 × 2 - 1) × π
    0.0260162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.08173241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532035827636719 × 2 - 1) × π
    -0.0640716552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.201287041504616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08173241} λ = 0.08173241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.201287041504616))-π/2
    2×atan(0.817677690430697)-π/2
    2×0.685427458772405-π/2
    1.37085491754481-1.57079632675     		φ = -0.19994141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08173241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.682922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19994141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.455799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67241 KachelY 69735 0.08173241 -0.19994141 4.682922 -11.455799
    Oben rechts KachelX + 1 67242 KachelY 69735 0.08178035 -0.19994141 4.685669 -11.455799
    Unten links KachelX 67241 KachelY + 1 69736 0.08173241 -0.19998839 4.682922 -11.458491
    Unten rechts KachelX + 1 67242 KachelY + 1 69736 0.08178035 -0.19998839 4.685669 -11.458491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19994141--0.19998839) × R
    4.69799999999743e-05 × 6371000     		dl = 299.309579999836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19994141--0.19998839) × R
    4.69799999999743e-05 × 6371000     		dr = 299.309579999836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08173241-0.08178035) × cos(-0.19994141) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980078216195146 × 6371000     		do = 299.341114439259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08173241-0.08178035) × cos(-0.19998839) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980068884326119 × 6371000     		du = 299.338264246256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19994141)-sin(-0.19998839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980078216195146-0.980068884326119)×R²
    abs(0.08178035-0.08173241)×9.33186902629668e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.33186902629668e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.33186902629668e-06×40589641000000     		ar = 89595.2367109473m²