Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67238 / 69734
↖ ↑ ↗
← S 11.453107°
E  4.674682°		 ← 299.34 m → S 11.453107°
E  4.677429°		 →
↑
299.31 m
↓
↑
299.31 m
↓
S 11.455799°
E  4.674682°		 ← 299.34 m →
89 596 m²		 S 11.455799°
E  4.677429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512989044189453 y=0.532032012939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512989044189453 × 217)
    floor (0.512989044189453 × 131072)
    floor (67238.5)     		tx = 67238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532032012939453 × 217)
    floor (0.532032012939453 × 131072)
    floor (69734.5)     		ty = 69734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67238 / 69734 ti = "17/67238/69734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67238/69734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67238 ÷ 217
    67238 ÷ 131072     		x = 0.512985229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69734 ÷ 217
    69734 ÷ 131072     		y = 0.532028198242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512985229492188 × 2 - 1) × π
    0.025970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08158860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532028198242188 × 2 - 1) × π
    -0.064056396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.201239104604996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08158860} λ = 0.08158860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.201239104604996))-π/2
    2×atan(0.817716888303569)-π/2
    2×0.685450949839762-π/2
    1.37090189967952-1.57079632675     		φ = -0.19989443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08158860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.674682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19989443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.453107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67238 KachelY 69734 0.08158860 -0.19989443 4.674682 -11.453107
    Oben rechts KachelX + 1 67239 KachelY 69734 0.08163654 -0.19989443 4.677429 -11.453107
    Unten links KachelX 67238 KachelY + 1 69735 0.08158860 -0.19994141 4.674682 -11.455799
    Unten rechts KachelX + 1 67239 KachelY + 1 69735 0.08163654 -0.19994141 4.677429 -11.455799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19989443--0.19994141) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dl = 299.309580000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19989443--0.19994141) × R
    4.6980000000002e-05 × 6371000     		dr = 299.309580000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08158860-0.08163654) × cos(-0.19989443) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980087545901022 × 6371000     		do = 299.34396397158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08158860-0.08163654) × cos(-0.19994141) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980078216195146 × 6371000     		du = 299.341114439259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19989443)-sin(-0.19994141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980087545901022-0.980078216195146)×R²
    abs(0.08163654-0.08158860)×9.32970587574911e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.32970587574911e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.32970587574911e-06×40589641000000     		ar = 89596.0897021614m²