Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 67235 / 69708
↖ ↑ ↗
← S 11.383109°
E  4.666443°		 ← 299.42 m → S 11.383109°
E  4.669189°		 →
↑
299.44 m
↓
↑
299.44 m
↓
S 11.385802°
E  4.666443°		 ← 299.41 m →
89 656 m²		 S 11.385802°
E  4.669189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 67235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512966156005859 y=0.531833648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512966156005859 × 217)
    floor (0.512966156005859 × 131072)
    floor (67235.5)     		tx = 67235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531833648681641 × 217)
    floor (0.531833648681641 × 131072)
    floor (69708.5)     		ty = 69708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 67235 / 69708 ti = "17/67235/69708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/67235/69708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 67235 ÷ 217
    67235 ÷ 131072     		x = 0.512962341308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69708 ÷ 217
    69708 ÷ 131072     		y = 0.531829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.512962341308594 × 2 - 1) × π
    0.0259246826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08144479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.531829833984375 × 2 - 1) × π
    -0.06365966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.199992745214874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08144479} λ = 0.08144479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.199992745214874))-π/2
    2×atan(0.818736692815217)-π/2
    2×0.686061795930512-π/2
    1.37212359186102-1.57079632675     		φ = -0.19867273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08144479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.666443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19867273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.383109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 67235 KachelY 69708 0.08144479 -0.19867273 4.666443 -11.383109
    Oben rechts KachelX + 1 67236 KachelY 69708 0.08149273 -0.19867273 4.669189 -11.383109
    Unten links KachelX 67235 KachelY + 1 69709 0.08144479 -0.19871973 4.666443 -11.385802
    Unten rechts KachelX + 1 67236 KachelY + 1 69709 0.08149273 -0.19871973 4.669189 -11.385802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19867273--0.19871973) × R
    4.70000000000192e-05 × 6371000     		dl = 299.437000000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19867273--0.19871973) × R
    4.70000000000192e-05 × 6371000     		dr = 299.437000000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08144479-0.08149273) × cos(-0.19867273) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980329402341619 × 6371000     		do = 299.417833153924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08144479-0.08149273) × cos(-0.19871973) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.980320124946717 × 6371000     		du = 299.414999598721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19867273)-sin(-0.19871973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980329402341619-0.980320124946717)×R²
    abs(0.08149273-0.08144479)×9.27739490164114e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.27739490164114e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.27739490164114e-06×40589641000000     		ar = 89656.3534870585m²