Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6723 / 6281
↖ ↑ ↗
← S 68.800041°
E115.444336°		 ← 1 767.10 m → S 68.800041°
E115.488282°		 →
↑
1 766.49 m
↓
↑
1 766.49 m
↓
S 68.815927°
E115.444336°		 ← 1 765.83 m →
3 120 436 m²		 S 68.815927°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82073974609375 y=0.76678466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82073974609375 × 213)
    floor (0.82073974609375 × 8192)
    floor (6723.5)     		tx = 6723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76678466796875 × 213)
    floor (0.76678466796875 × 8192)
    floor (6281.5)     		ty = 6281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6723 / 6281 ti = "13/6723/6281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6723/6281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6723 ÷ 213
    6723 ÷ 8192     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6281 ÷ 213
    6281 ÷ 8192     		y = 0.7667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.67587401071716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67587401071716))-π/2
    2×atan(0.187144541646705)-π/2
    2×0.185004541716077-π/2
    0.370009083432153-1.57079632675     		φ = -1.20078724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20078724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.800041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6723 KachelY 6281 2.01488376 -1.20078724 115.444336 -68.800041
    Oben rechts KachelX + 1 6724 KachelY 6281 2.01565076 -1.20078724 115.488282 -68.800041
    Unten links KachelX 6723 KachelY + 1 6282 2.01488376 -1.20106451 115.444336 -68.815927
    Unten rechts KachelX + 1 6724 KachelY + 1 6282 2.01565076 -1.20106451 115.488282 -68.815927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20078724--1.20106451) × R
    0.000277269999999996 × 6371000     		dl = 1766.48716999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20078724--1.20106451) × R
    0.000277269999999996 × 6371000     		dr = 1766.48716999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01565076) × cos(-1.20078724) × R
    0.000767000000000184 × 0.361623903817399 × 6371000     		do = 1767.09581856666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01565076) × cos(-1.20106451) × R
    0.000767000000000184 × 0.361365384428115 × 6371000     		du = 1765.83254883532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20078724)-sin(-1.20106451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361623903817399-0.361365384428115)×R²
    abs(2.01565076-2.01488376)×0.000258519389284007×R²
    0.000767000000000184×0.000258519389284007×6371000²
    0.000767000000000184×0.000258519389284007×40589641000000     		ar = 3120436.33676206m²