Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6723 / 3393
↖ ↑ ↗
← N 29.496987°
E115.444336°		 ← 4 253.17 m → N 29.496987°
E115.488282°		 →
↑
4 253.92 m
↓
↑
4 253.92 m
↓
N 29.458731°
E115.444336°		 ← 4 254.77 m →
18 096 043 m²		 N 29.458731°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82073974609375 y=0.41424560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82073974609375 × 213)
    floor (0.82073974609375 × 8192)
    floor (6723.5)     		tx = 6723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41424560546875 × 213)
    floor (0.41424560546875 × 8192)
    floor (3393.5)     		ty = 3393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6723 / 3393 ti = "13/6723/3393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6723/3393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6723 ÷ 213
    6723 ÷ 8192     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3393 ÷ 213
    3393 ÷ 8192     		y = 0.4141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4141845703125 × 2 - 1) × π
    0.171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.539194246926392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539194246926392))-π/2
    2×atan(1.71462474128018)-π/2
    2×1.04280793988048-π/2
    2.08561587976096-1.57079632675     		φ = 0.51481955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51481955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.496987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6723 KachelY 3393 2.01488376 0.51481955 115.444336 29.496987
    Oben rechts KachelX + 1 6724 KachelY 3393 2.01565076 0.51481955 115.488282 29.496987
    Unten links KachelX 6723 KachelY + 1 3394 2.01488376 0.51415185 115.444336 29.458731
    Unten rechts KachelX + 1 6724 KachelY + 1 3394 2.01565076 0.51415185 115.488282 29.458731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51481955-0.51415185) × R
    0.000667700000000049 × 6371000     		dl = 4253.91670000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51481955-0.51415185) × R
    0.000667700000000049 × 6371000     		dr = 4253.91670000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01565076) × cos(0.51481955) × R
    0.000767000000000184 × 0.870381586041768 × 6371000     		do = 4253.16923194452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01565076) × cos(0.51415185) × R
    0.000767000000000184 × 0.87071015265401 × 6371000     		du = 4254.77479142354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51481955)-sin(0.51415185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870381586041768-0.87071015265401)×R²
    abs(2.01565076-2.01488376)×0.000328566612242009×R²
    0.000767000000000184×0.000328566612242009×6371000²
    0.000767000000000184×0.000328566612242009×40589641000000     		ar = 18096043.2541397m²