Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6723 / 2615
↖ ↑ ↗
← N 54.393352°
E115.444336°		 ← 2 845.04 m → N 54.393352°
E115.488282°		 →
↑
2 845.93 m
↓
↑
2 845.93 m
↓
N 54.367758°
E115.444336°		 ← 2 846.81 m →
8 099 292 m²		 N 54.367758°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82073974609375 y=0.31927490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82073974609375 × 213)
    floor (0.82073974609375 × 8192)
    floor (6723.5)     		tx = 6723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.31927490234375 × 213)
    floor (0.31927490234375 × 8192)
    floor (2615.5)     		ty = 2615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6723 / 2615 ti = "13/6723/2615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6723/2615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6723 ÷ 213
    6723 ÷ 8192     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2615 ÷ 213
    2615 ÷ 8192     		y = 0.3192138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3192138671875 × 2 - 1) × π
    0.361572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.13591277339685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13591277339685))-π/2
    2×atan(3.11401463578782)-π/2
    2×1.26006970713954-π/2
    2.52013941427908-1.57079632675     		φ = 0.94934309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94934309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.393352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6723 KachelY 2615 2.01488376 0.94934309 115.444336 54.393352
    Oben rechts KachelX + 1 6724 KachelY 2615 2.01565076 0.94934309 115.488282 54.393352
    Unten links KachelX 6723 KachelY + 1 2616 2.01488376 0.94889639 115.444336 54.367758
    Unten rechts KachelX + 1 6724 KachelY + 1 2616 2.01565076 0.94889639 115.488282 54.367758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94934309-0.94889639) × R
    0.000446699999999911 × 6371000     		dl = 2845.92569999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94934309-0.94889639) × R
    0.000446699999999911 × 6371000     		dr = 2845.92569999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01565076) × cos(0.94934309) × R
    0.000767000000000184 × 0.582217304697639 × 6371000     		do = 2845.03804579206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01565076) × cos(0.94889639) × R
    0.000767000000000184 × 0.582580428535012 × 6371000     		du = 2846.81247112145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94934309)-sin(0.94889639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582217304697639-0.582580428535012)×R²
    abs(2.01565076-2.01488376)×0.000363123837372914×R²
    0.000767000000000184×0.000363123837372914×6371000²
    0.000767000000000184×0.000363123837372914×40589641000000     		ar = 8099291.96800023m²