Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6722 / 1734
↖ ↑ ↗
← N 80.393732°
W 32.299805°		 ← 407.73 m → N 80.393732°
W 32.277832°		 →
↑
407.81 m
↓
↑
407.81 m
↓
N 80.390064°
W 32.299805°		 ← 407.88 m →
166 305 m²		 N 80.390064°
W 32.277832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410308837890625 y=0.105865478515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410308837890625 × 214)
    floor (0.410308837890625 × 16384)
    floor (6722.5)     		tx = 6722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105865478515625 × 214)
    floor (0.105865478515625 × 16384)
    floor (1734.5)     		ty = 1734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6722 / 1734 ti = "14/6722/1734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6722/1734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6722 ÷ 214
    6722 ÷ 16384     		x = 0.4102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1734 ÷ 214
    1734 ÷ 16384     		y = 0.1058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.179443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.56373794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1058349609375 × 2 - 1) × π
    0.788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47661198197058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56373794} λ = -0.56373794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47661198197058))-π/2
    2×atan(11.9008756562677)-π/2
    2×1.48696582449431-π/2
    2.97393164898861-1.57079632675     		φ = 1.40313532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56373794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40313532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.393732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6722 KachelY 1734 -0.56373794 1.40313532 -32.299805 80.393732
    Oben rechts KachelX + 1 6723 KachelY 1734 -0.56335444 1.40313532 -32.277832 80.393732
    Unten links KachelX 6722 KachelY + 1 1735 -0.56373794 1.40307131 -32.299805 80.390064
    Unten rechts KachelX + 1 6723 KachelY + 1 1735 -0.56335444 1.40307131 -32.277832 80.390064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40313532-1.40307131) × R
    6.40100000000032e-05 × 6371000     		dl = 407.807710000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40313532-1.40307131) × R
    6.40100000000032e-05 × 6371000     		dr = 407.807710000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56373794--0.56335444) × cos(1.40313532) × R
    0.000383499999999981 × 0.166876612307392 × 6371000     		do = 407.726039003467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56373794--0.56335444) × cos(1.40307131) × R
    0.000383499999999981 × 0.166939724403619 × 6371000     		du = 407.880239431266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40313532)-sin(1.40307131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166876612307392-0.166939724403619)×R²
    abs(-0.56335444--0.56373794)×6.31120962264198e-05×R²
    0.000383499999999981×6.31120962264198e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.31120962264198e-05×40589641000000     		ar = 166305.264391907m²