Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6721 / 6279
↖ ↑ ↗
← S 68.768235°
E115.356445°		 ← 1 769.60 m → S 68.768235°
E115.400390°		 →
↑
1 768.97 m
↓
↑
1 768.97 m
↓
S 68.784144°
E115.356445°		 ← 1 768.34 m →
3 129 257 m²		 S 68.784144°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82049560546875 y=0.76654052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82049560546875 × 213)
    floor (0.82049560546875 × 8192)
    floor (6721.5)     		tx = 6721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76654052734375 × 213)
    floor (0.76654052734375 × 8192)
    floor (6279.5)     		ty = 6279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6721 / 6279 ti = "13/6721/6279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6721/6279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6721 ÷ 213
    6721 ÷ 8192     		x = 0.8204345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6279 ÷ 213
    6279 ÷ 8192     		y = 0.7664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8204345703125 × 2 - 1) × π
    0.640869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01334978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.67434002992932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01334978} λ = 2.01334978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67434002992932))-π/2
    2×atan(0.187431838075405)-π/2
    2×0.185282102191506-π/2
    0.370564204383012-1.57079632675     		φ = -1.20023212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01334978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20023212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.768235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6721 KachelY 6279 2.01334978 -1.20023212 115.356445 -68.768235
    Oben rechts KachelX + 1 6722 KachelY 6279 2.01411677 -1.20023212 115.400390 -68.768235
    Unten links KachelX 6721 KachelY + 1 6280 2.01334978 -1.20050978 115.356445 -68.784144
    Unten rechts KachelX + 1 6722 KachelY + 1 6280 2.01411677 -1.20050978 115.400390 -68.784144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20023212--1.20050978) × R
    0.000277660000000068 × 6371000     		dl = 1768.97186000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20023212--1.20050978) × R
    0.000277660000000068 × 6371000     		dr = 1768.97186000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01334978-2.01411677) × cos(-1.20023212) × R
    0.000766989999999801 × 0.362141399804119 × 6371000     		do = 1769.60152017358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01334978-2.01411677) × cos(-1.20050978) × R
    0.000766989999999801 × 0.361882572528031 × 6371000     		du = 1768.3367624257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20023212)-sin(-1.20050978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362141399804119-0.361882572528031)×R²
    abs(2.01411677-2.01334978)×0.000258827276087836×R²
    0.000766989999999801×0.000258827276087836×6371000²
    0.000766989999999801×0.000258827276087836×40589641000000     		ar = 3129256.65227158m²