Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6721 / 1729
↖ ↑ ↗
← N 80.412048°
W 32.321777°		 ← 406.95 m → N 80.412048°
W 32.299805°		 →
↑
407.04 m
↓
↑
407.04 m
↓
N 80.408388°
W 32.321777°		 ← 407.10 m →
165 676 m²		 N 80.408388°
W 32.299805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410247802734375 y=0.105560302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410247802734375 × 214)
    floor (0.410247802734375 × 16384)
    floor (6721.5)     		tx = 6721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105560302734375 × 214)
    floor (0.105560302734375 × 16384)
    floor (1729.5)     		ty = 1729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6721 / 1729 ti = "14/6721/1729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6721/1729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6721 ÷ 214
    6721 ÷ 16384     		x = 0.41021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1729 ÷ 214
    1729 ÷ 16384     		y = 0.10552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56412143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10552978515625 × 2 - 1) × π
    0.7889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47852945795538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56412143} λ = -0.56412143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47852945795538))-π/2
    2×atan(11.9237171915859)-π/2
    2×1.4871256642945-π/2
    2.97425132858899-1.57079632675     		φ = 1.40345500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56412143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.321777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40345500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.412048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6721 KachelY 1729 -0.56412143 1.40345500 -32.321777 80.412048
    Oben rechts KachelX + 1 6722 KachelY 1729 -0.56373794 1.40345500 -32.299805 80.412048
    Unten links KachelX 6721 KachelY + 1 1730 -0.56412143 1.40339111 -32.321777 80.408388
    Unten rechts KachelX + 1 6722 KachelY + 1 1730 -0.56373794 1.40339111 -32.299805 80.408388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40345500-1.40339111) × R
    6.38899999998443e-05 × 6371000     		dl = 407.043189999008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40345500-1.40339111) × R
    6.38899999998443e-05 × 6371000     		dr = 407.043189999008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56412143--0.56373794) × cos(1.40345500) × R
    0.000383490000000042 × 0.166561406406841 × 6371000     		do = 406.94529157644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56412143--0.56373794) × cos(1.40339111) × R
    0.000383490000000042 × 0.166624403592785 × 6371000     		du = 407.099207232867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40345500)-sin(1.40339111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166561406406841-0.166624403592785)×R²
    abs(-0.56373794--0.56412143)×6.29971859442968e-05×R²
    0.000383490000000042×6.29971859442968e-05×6371000²
    0.000383490000000042×6.29971859442968e-05×40589641000000     		ar = 165675.63485441m²