Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6721 / 1557
↖ ↑ ↗
← N 81.021487°
W 32.321777°		 ← 381.30 m → N 81.021487°
W 32.299805°		 →
↑
381.37 m
↓
↑
381.37 m
↓
N 81.018058°
W 32.321777°		 ← 381.44 m →
145 442 m²		 N 81.018058°
W 32.299805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6721 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.410247802734375 y=0.095062255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.410247802734375 × 214)
    floor (0.410247802734375 × 16384)
    floor (6721.5)     		tx = 6721
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095062255859375 × 214)
    floor (0.095062255859375 × 16384)
    floor (1557.5)     		ty = 1557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6721 / 1557 ti = "14/6721/1557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6721/1557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6721 ÷ 214
    6721 ÷ 16384     		x = 0.41021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1557 ÷ 214
    1557 ÷ 16384     		y = 0.09503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56412143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09503173828125 × 2 - 1) × π
    0.8099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54449063183258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56412143} λ = -0.56412143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54449063183258))-π/2
    2×atan(12.7367387442007)-π/2
    2×1.49244402476875-π/2
    2.98488804953751-1.57079632675     		φ = 1.41409172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56412143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.321777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41409172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.021487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6721 KachelY 1557 -0.56412143 1.41409172 -32.321777 81.021487
    Oben rechts KachelX + 1 6722 KachelY 1557 -0.56373794 1.41409172 -32.299805 81.021487
    Unten links KachelX 6721 KachelY + 1 1558 -0.56412143 1.41403186 -32.321777 81.018058
    Unten rechts KachelX + 1 6722 KachelY + 1 1558 -0.56373794 1.41403186 -32.299805 81.018058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41409172-1.41403186) × R
    5.98600000001337e-05 × 6371000     		dl = 381.368060000852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41409172-1.41403186) × R
    5.98600000001337e-05 × 6371000     		dr = 381.368060000852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56412143--0.56373794) × cos(1.41409172) × R
    0.000383490000000042 × 0.156064045354463 × 6371000     		do = 381.297983797296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56412143--0.56373794) × cos(1.41403186) × R
    0.000383490000000042 × 0.156123171606537 × 6371000     		du = 381.442441930841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41409172)-sin(1.41403186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156064045354463-0.156123171606537)×R²
    abs(-0.56373794--0.56412143)×5.91262520742708e-05×R²
    0.000383490000000042×5.91262520742708e-05×6371000²
    0.000383490000000042×5.91262520742708e-05×40589641000000     		ar = 145442.418265363m²