Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6720 / 2646
↖ ↑ ↗
← N 53.592505°
E115.312500°		 ← 2 900.25 m → N 53.592505°
E115.356445°		 →
↑
2 901.10 m
↓
↑
2 901.10 m
↓
N 53.566414°
E115.312500°		 ← 2 902.04 m →
8 416 514 m²		 N 53.566414°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82037353515625 y=0.32305908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82037353515625 × 213)
    floor (0.82037353515625 × 8192)
    floor (6720.5)     		tx = 6720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32305908203125 × 213)
    floor (0.32305908203125 × 8192)
    floor (2646.5)     		ty = 2646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6720 / 2646 ti = "13/6720/2646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6720/2646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6720 ÷ 213
    6720 ÷ 8192     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2646 ÷ 213
    2646 ÷ 8192     		y = 0.322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322998046875 × 2 - 1) × π
    0.35400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1121360711853))-π/2
    2×atan(3.040846927485)-π/2
    2×1.25308099504233-π/2
    2.50616199008466-1.57079632675     		φ = 0.93536566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93536566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.592505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6720 KachelY 2646 2.01258279 0.93536566 115.312500 53.592505
    Oben rechts KachelX + 1 6721 KachelY 2646 2.01334978 0.93536566 115.356445 53.592505
    Unten links KachelX 6720 KachelY + 1 2647 2.01258279 0.93491030 115.312500 53.566414
    Unten rechts KachelX + 1 6721 KachelY + 1 2647 2.01334978 0.93491030 115.356445 53.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93536566-0.93491030) × R
    0.000455360000000016 × 6371000     		dl = 2901.0985600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93536566-0.93491030) × R
    0.000455360000000016 × 6371000     		dr = 2901.0985600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01334978) × cos(0.93536566) × R
    0.000766989999999801 × 0.593524176982808 × 6371000     		do = 2900.25190827851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01334978) × cos(0.93491030) × R
    0.000766989999999801 × 0.593890596522316 × 6371000     		du = 2902.04241489964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93536566)-sin(0.93491030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593524176982808-0.593890596522316)×R²
    abs(2.01334978-2.01258279)×0.000366419539507445×R²
    0.000766989999999801×0.000366419539507445×6371000²
    0.000766989999999801×0.000366419539507445×40589641000000     		ar = 8416513.99826561m²