Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6720 / 2643
↖ ↑ ↗
← N 53.670680°
E115.312500°		 ← 2 894.88 m → N 53.670680°
E115.356445°		 →
↑
2 895.75 m
↓
↑
2 895.75 m
↓
N 53.644638°
E115.312500°		 ← 2 896.67 m →
8 385 440 m²		 N 53.644638°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82037353515625 y=0.32269287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82037353515625 × 213)
    floor (0.82037353515625 × 8192)
    floor (6720.5)     		tx = 6720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32269287109375 × 213)
    floor (0.32269287109375 × 8192)
    floor (2643.5)     		ty = 2643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6720 / 2643 ti = "13/6720/2643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6720/2643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6720 ÷ 213
    6720 ÷ 8192     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2643 ÷ 213
    2643 ÷ 8192     		y = 0.3226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3226318359375 × 2 - 1) × π
    0.354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.11443704236707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11443704236707))-π/2
    2×atan(3.04785188464494)-π/2
    2×1.25376320396852-π/2
    2.50752640793703-1.57079632675     		φ = 0.93673008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93673008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.670680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6720 KachelY 2643 2.01258279 0.93673008 115.312500 53.670680
    Oben rechts KachelX + 1 6721 KachelY 2643 2.01334978 0.93673008 115.356445 53.670680
    Unten links KachelX 6720 KachelY + 1 2644 2.01258279 0.93627556 115.312500 53.644638
    Unten rechts KachelX + 1 6721 KachelY + 1 2644 2.01334978 0.93627556 115.356445 53.644638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93673008-0.93627556) × R
    0.000454520000000014 × 6371000     		dl = 2895.74692000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93673008-0.93627556) × R
    0.000454520000000014 × 6371000     		dr = 2895.74692000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01334978) × cos(0.93673008) × R
    0.000766989999999801 × 0.592425517593882 × 6371000     		do = 2894.88331654653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01334978) × cos(0.93627556) × R
    0.000766989999999801 × 0.592791629165245 × 6371000     		du = 2896.67231828339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93673008)-sin(0.93627556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592425517593882-0.592791629165245)×R²
    abs(2.01334978-2.01258279)×0.000366111571362682×R²
    0.000766989999999801×0.000366111571362682×6371000²
    0.000766989999999801×0.000366111571362682×40589641000000     		ar = 8385439.84014373m²