Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6719 / 2659
↖ ↑ ↗
← N 53.252069°
E115.268555°		 ← 2 923.57 m → N 53.252069°
E115.312500°		 →
↑
2 924.42 m
↓
↑
2 924.42 m
↓
N 53.225769°
E115.268555°		 ← 2 925.36 m →
8 552 357 m²		 N 53.225769°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82025146484375 y=0.32464599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82025146484375 × 213)
    floor (0.82025146484375 × 8192)
    floor (6719.5)     		tx = 6719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32464599609375 × 213)
    floor (0.32464599609375 × 8192)
    floor (2659.5)     		ty = 2659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6719 / 2659 ti = "13/6719/2659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6719/2659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6719 ÷ 213
    6719 ÷ 8192     		x = 0.8201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2659 ÷ 213
    2659 ÷ 8192     		y = 0.3245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8201904296875 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3245849609375 × 2 - 1) × π
    0.350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10216519606433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01181580} λ = 2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10216519606433))-π/2
    2×atan(3.01067767935949)-π/2
    2×1.25011013046873-π/2
    2.50022026093747-1.57079632675     		φ = 0.92942393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92942393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.252069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6719 KachelY 2659 2.01181580 0.92942393 115.268555 53.252069
    Oben rechts KachelX + 1 6720 KachelY 2659 2.01258279 0.92942393 115.312500 53.252069
    Unten links KachelX 6719 KachelY + 1 2660 2.01181580 0.92896491 115.268555 53.225769
    Unten rechts KachelX + 1 6720 KachelY + 1 2660 2.01258279 0.92896491 115.312500 53.225769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92942393-0.92896491) × R
    0.000459019999999977 × 6371000     		dl = 2924.41641999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92942393-0.92896491) × R
    0.000459019999999977 × 6371000     		dr = 2924.41641999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01181580-2.01258279) × cos(0.92942393) × R
    0.000766990000000245 × 0.598295672263515 × 6371000     		do = 2923.56778795264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01181580-2.01258279) × cos(0.92896491) × R
    0.000766990000000245 × 0.598663410660725 × 6371000     		du = 2925.36473916308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92942393)-sin(0.92896491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598295672263515-0.598663410660725)×R²
    abs(2.01258279-2.01181580)×0.000367738397209938×R²
    0.000766990000000245×0.000367738397209938×6371000²
    0.000766990000000245×0.000367738397209938×40589641000000     		ar = 8552357.31105174m²