Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6719 / 2626
↖ ↑ ↗
← N 54.110943°
E115.268555°		 ← 2 864.55 m → N 54.110943°
E115.312500°		 →
↑
2 865.48 m
↓
↑
2 865.48 m
↓
N 54.085173°
E115.268555°		 ← 2 866.33 m →
8 210 871 m²		 N 54.085173°
E115.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.82025146484375 y=0.32061767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.82025146484375 × 213)
    floor (0.82025146484375 × 8192)
    floor (6719.5)     		tx = 6719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32061767578125 × 213)
    floor (0.32061767578125 × 8192)
    floor (2626.5)     		ty = 2626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6719 / 2626 ti = "13/6719/2626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6719/2626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6719 ÷ 213
    6719 ÷ 8192     		x = 0.8201904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2626 ÷ 213
    2626 ÷ 8192     		y = 0.320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8201904296875 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01181580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320556640625 × 2 - 1) × π
    0.35888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12747587906372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01181580} λ = 2.01181580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12747587906372))-π/2
    2×atan(3.0878525419517)-π/2
    2×1.25760522124267-π/2
    2.51521044248533-1.57079632675     		φ = 0.94441412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01181580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.268555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94441412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.110943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6719 KachelY 2626 2.01181580 0.94441412 115.268555 54.110943
    Oben rechts KachelX + 1 6720 KachelY 2626 2.01258279 0.94441412 115.312500 54.110943
    Unten links KachelX 6719 KachelY + 1 2627 2.01181580 0.94396435 115.268555 54.085173
    Unten rechts KachelX + 1 6720 KachelY + 1 2627 2.01258279 0.94396435 115.312500 54.085173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94441412-0.94396435) × R
    0.000449770000000016 × 6371000     		dl = 2865.4846700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94441412-0.94396435) × R
    0.000449770000000016 × 6371000     		dr = 2865.4846700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01181580-2.01258279) × cos(0.94441412) × R
    0.000766990000000245 × 0.586217632404934 × 6371000     		do = 2864.54852722731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01181580-2.01258279) × cos(0.94396435) × R
    0.000766990000000245 × 0.586581955892289 × 6371000     		du = 2866.32879150366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94441412)-sin(0.94396435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586217632404934-0.586581955892289)×R²
    abs(2.01258279-2.01181580)×0.000364323487355378×R²
    0.000766990000000245×0.000364323487355378×6371000²
    0.000766990000000245×0.000364323487355378×40589641000000     		ar = 8210870.68965414m²